Задачи к § 1

Задача 1. Найти области () определения функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Указание. Опираясь на известные области определения основных элементарных функций, участвующих в формуле, следует указать те значения аргумента , для которых определены все действия в этой формуле.

Решение.

а) Степенная функция с показателем степени определена лишь при неотрицательных значениях аргумента. Следовательно, область задания функции определена неравенством

,

решение которого (полученное методом интервалов (рис. 1.15))

Рис. 1.15.

имеет вид

Ответ: .

б) Представим функцию в виде

.

Результат произведения определен лишь тогда, когда определен каждый из множителей, поэтому область определения задается системой неравенств:

Решаем ее:

Ответ: .

в) Это – сложная функция, область определения которой задается системой неравенств, описывающих области определения каждой из последовательно вычисляемых функций. Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, и система неравенств имеет вид:

Решаем ее:

Найдем корни квадратных трехчленов: уравнение имеет корни , ; уравнение имеет корни , .

Проведем решение системы неравенств методом интервалов (рис.1.16):

Рис. 1.16.

.

Ответ: .

г) Естественная область задания арксинуса определяется двойным неравенством:

.

Раскрывая входящий в него модуль, будем иметь

Ответ: .

д) Опираясь на область определения тангенса, составим неравенство:

.

Решаем его:

, .

Заметим, что подкоренное выражение неотрицательно лишь при .

Ответ: .

Задача 2. Построить графики функций, заданных формулами:

а)

б) ;

в)

г) ;

д)

Решение.

а) б)

Рис. 1.17. Рис. 1.18.

в) г)

Рис. 1.19. Рис. 1.20.

д)

Рис. 1.21.

В примерах а), в) и д) функции заданы разными формулами на разных интервалах изменения аргумента. На каждом из указанных интервалов строится график заданной на нем основной элементарной функции. Эти графики приведены на рис. 1.17, 1.19 и 1.21 соответственно.

При построении графика для примера б) на рис.1.18, учтено определение модуля, согласно которому

График показан на рис. 1.18 пунктиром.

В примере г) функция определена при всех . В силу определения модуля она имеет вид

Соответствующий график приведен на рис. 1.20.

Задача 3. Построить графики функций, обратных функциям:

а) , ;

б) , ;

в)

г) ;

д) , .

Решение.

При построении графика функции, обратной данной, будем пользоваться свойством симметрии графиков взаимно обратных функций относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Поэтому на рисунках 1.22 – 1.26 приведены графики заданных функций (показаны жирными пунктирными линиями), обратных к ним функций (показаны жирными сплошными линиями) и график биссектрисы I и III координатных углов (показан тонкой сплошной линией).

а) б)

Рис. 1.22. Рис. 1.23.

в)

Рис. 1.24.

Поясним иллюстрацию к задаче 3 в). В этой задаче обратная функция имеет вид:

г) д)

Рис. 1.25. Рис. 1.26.

Задача 4. Представить сложную функцию в виде цепочки, составленной из основных элементарных функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Решение.

Определим последовательность действий, выполняемых для вычисления значения функции при определенном значении .

а) , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , , ;

д) , , , , .