Обратная функция

Пусть функция задана на множестве и имеет область значений . Тогда для любого значения можно найти одно или несколько значений , для которых . Тем самым на множестве определена однозначная или многозначная функция . Она называется обратной для функции .

Если обратная функция оказывается многозначной, то она рассматривается как совокупность однозначных функций, называемых ее ветвями. Например, для функции , , обратная функция является двузначной: каждому значению отвечают два значения из множества . Поэтому следует рассмотреть две однозначные ветви обратной функции: ветвь является обратной для функции с областью задания , ветвь является обратной для функции с областью задания .

Следует заметить, что графики функции и обратной к ней совпадают. Если же в обратной функции перейти к традиционному обозначению переменных: – аргумент, – значение функции, то график функции окажется симметричным графику относительно биссектрисы I и III координатных углов. Это свойство симметрии проиллюстрировано графиками пар функций: с областью задания и (рис. 1.2); с областью задания и (рис. 1.3).

Рис. 1.2. Рис. 1.3.

Основные элементарные функции

1) Степенная функция. Ее вид

,

где – любое вещественное число.

Область задания этой функции определяется числом . Например:

— если , где  произвольное натуральное число, или , где  нечетное натуральное число, то область задания совпадает с ;

— если , где  произвольное натуральное число, или , где  нечетное натуральное, то функция определена для всех ;

— если , где  четное натуральное, то функция определена лишь для ;

— если , где – четное натуральное, то функция определена лишь для .

П

римеры графиков степенной функции представлены на рис. 1.4 (а,б). Следует отметить, что график любой степенной функции проходит через точку .

а) б)

Рис. 1.4.

2) Показательная функция. Ее вид

.

Область задания этой функции совпадает с . Графики для различных значений представлены на рис. 1.5.

Рис. 1.5.

3) Логарифмическая функция. Логарифмическая функция

()

является обратной для показательной функции на всей ее области определения . Ее значения определяются равенством

.

Область задания логарифмической функции – бесконечный промежуток .

Для логарифмов с некоторыми основаниями используются специальные обозначения. Так, для десятичного логарифма () используется обозначение .

Графики логарифмической функции для различных значений представлены на рис. 1.6 а, б.

а) б)

Рис. 1.6.

Пунктиром на этих рисунках обозначены графики функции .