Эквивалентность множеств
Если между
множествами
и
существует взаимно однозначное
соответствие, то эти множества
называются эквивалентными,
что обозначается следующим образом:
.
Эквивалентность множеств обладает свойством транзитивности:
если
,
а
,
то
.
Мощность множества
Чтобы выделять множества, эквивалентные данному множеству, вводится понятие мощности множества.
В простейшем
случае, когда
– конечное множество, перенумеруем его
элементы:
.
Получим взаимно
однозначное соответствие между множеством
и конечным подмножеством натуральных
чисел
.
В таком случае
говорят, что мощность множества
равна количеству его элементов
.
Если множество
эквивалентно множеству натуральных
чисел
:
,
то элементы этого множества также можно перенумеровать
.
В этом случае
множество
называется счетным.
Мощность всех счетных множеств одинакова
и обозначается буквой
.
Доказано [1], что
из всех бесконечных множеств счетные
множества имеют минимальную мощность.
Например, отрезок
имеет большую, чем
,
мощность. Мощность отрезка
называется мощностью
континуума.
Будем обозначать ее через
.
Мощность
имеют не только все конечные, но и
бесконечные отрезки, интервалы и
полуинтервалы на числовой оси, в том
числе и вся числовая ось.
Существуют
множества, мощность которых больше, чем
.
§ 1. Функция
Рассматриваемые в математике величины можно разделить на два класса: постоянные, т.е. величины, принимающие лишь одно значение, и переменные, т.е. величины, которые могут в процессе решения задачи принимать различные значения.
Переменная величина обозначается каким-либо символом. Она считается заданной, если известно множество значений, которые она может принимать. Это множество называется областью изменения переменной. Как правило, переменные обозначаются строчными буквами (латинскими или греческими), а множества их значений – прописными. Так как числа изображаются точками на числовой оси, значения переменной будем часто называть точками.
Области изменения
переменной могут быть весьма разнообразны.
Переменная может принимать натуральные
значения, в этом случае областью ее
изменения является множество натуральных
чисел
.
Областью изменения переменной может
также служить любой числовой промежуток:
– замкнутый;
– открытый;
или
– полуоткрытый; любой бесконечный
промежуток:
,
,
,
или
,
а также объединение или пересечение
промежутков.
Основным понятием при изучении зависимости между переменными величинами является понятие функции.
Определение 1.1.
Пусть заданы переменная
с областью изменения
и переменная
с областью изменения
.
Если можно
указать правило
,
по которому каждому значению
ставится в соответствие значение
,
то переменная
называется функцией
переменной
.
При этом
переменная
называется аргументом
функции,
множество
–
областью
определения
(или областью задания) функции,
а множество
–
областью
изменения
(или областью значений) функции.
Тот факт, что
является функцией
записывается следующим образом:
или
.
Определение 1.2.
Функция
натурального аргумента
,
называется последовательностью.
Элементы последовательности обозначаются
:
(
).
Функции, у которых
каждому значению аргумента
соответствует единственное значение
функции
,
называются однозначными.
Функции, у которых значению аргумента
могут соответствовать несколько значений
функции, называются
многозначными.
В дальнейшем будут рассматриваться
только однозначные функции.
Итак, функция
представляет собой тройку
,
в которую входят: область определения
,
область значений
и правило
,
по которому устанавливается соответствие
между элементами множеств
и
.
Задать функцию – означает указать все
три элемента
.