Пустое множество

Предположение о том, что для любого элемента верно одно и только одно из вышеприведенных утверждений: или еще не означает, что само множество содержит хотя бы один элемент. Поэтому вводится понятие пустого множества.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .

Пример. , то есть не существует действительного числа, удовлетворяющего уравнению .

Включение множеств

Множество называется подмножеством множества , если любой элемент множества является элементом множества .

Этот факт записывается следующим образом:

или

Знак называется знаком включения.

Примеры.

1) Пустое множество есть часть любого множества .¹

2) , то есть множество натуральных чисел есть часть множества целых неотрицательных чисел, которое, в свою очередь, содержится во множестве целых чисел и т.д.

3) Любое слово, рассматриваемое как множество букв, является подмножеством алфавита соответствующего языка.

Примеры наиболее часто употребляемых числовых множеств

1) – сегмент или замкнутый отрезок;

2) – интервал или открытый отрезок, (обозначается также);

3

полуинтервалы или

полуоткрытые отрезки;

) –

4

бесконечные интервалы и

полуинтервалы.

) –

Этим числовым множествам соответствуют отрезки на числовой оси (с включенными в них или исключенными из них концами).

Равенство множеств

Два множества равны или совпадают, то есть , если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. любой элемент множества является элементом множества и, наоборот, любой элемент множества входит во множество .

Операции над множествами

I. Объединением (или суммой) множеств и называется множество , которое состоит из всех элементов, которые принадлежат или множеству , или множеству .

Тот факт, что множество является суммой множеств и записывается следующим образом

или

.

Пример. , то есть множество целых неотрицательных чисел может быть представлено в виде объединения множества натуральных чисел и множества, содержащего число «нуль».

Простейшие свойства операции объединения:

1) ;

2) – свойство коммутативности;

3) – свойство ассоциативности;

4) .

II. Пересечением (или произведением) множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, которые принадлежат и множеству, и множеству .

Тот факт, что множество является произведением множеств и записывается следующим образом

или

.

Примеры.

1) , так как множество рациональных чисел целиком содержится во множестве действительных чисел.

2) , если (рис. А).

Рис. А.

Простейшие свойства операции пересечения:

1) ;

2) – свойство коммутативности;

3) – свойство ассоциативности;

4) ;

5) Если , то .

Замечание 1. Операции объединения и пересечения обладают свойствами взаимной дистрибутивности:

1) .

2) .

Замечание 2. Операции объединения и пересечения множеств можно распространить на любое конечное число множеств : или .

III. Разностью множеств и называется множество , составленное из всех элементов множества , которые не принадлежат множеству .

Тот факт, что множество является разностью множеств и обозначается следующим образом

.

Простейшие свойства разности множеств:

1. ;

2) .

IV. Пусть задано некоторое множество , в котором содержатся все множества, рассматриваемые в данной задаче. Такое множество называется универсальным множеством.

Дополнением множества : называется разность множеств и .

Дополнение множества обозначается следующим образом

.

Независимо от взаимного расположения множеств имеет место принцип двойственности:

V. Пусть даны два множества и . Если каждому элементу по некоторому закону ставится в соответствие единственный элемент и обратно, в силу того же закона, каждому элементу соответствует единственный элемент , то говорят, что между множествами и установлено взаимно однозначное соответствие.

Примеры.

1) Пусть множество – полуокружность без крайних точек, а множество – прямая (рис. Б). Лучи, проведенные из центра полуокружности, устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками полуокружности и прямой.

Рис. Б.

2) Пусть – множество положительных четных чисел. Тогда между ним и множеством натуральных чисел существует взаимно однозначное соответствие, устанавливаемое по правилу: , где , .