§ 7. Замечательные пределы

Устанавливаемые в этом параграфе соотношения позволяют в некоторых случаях раскрывать неопределенности и находить значения пределов.

1) Теорема 7.1. Справедливо соотношение

.

Доказательство. Достаточно рассмотреть , так как . Обратимся к рис. 7.1. На нем изображена окружность, радиус которой равен . Точки , , лежат на этой окружности, причем ( – точка пересечения хорды и радиуса ). В точках и к окружности проведены касательные. Они пересекаются в точке , лежащей на прямой .

Рис. 7.1.

Из рис. 7.1 очевидны соотношения:

; ; .

Так как , то

.

Разделив все три части неравенства на и перейдя к обратным величинам, будем иметь

.

Применяя теорему 5.5 о сжатой переменой и учитывая, что по теореме 6.1 , получим

.

Теорема доказана.

2) Число . Натуральные логарифмы

Рассмотрим график функции . При любом значении (рис. 7.2) он проходит через точку . Построим касательную к графику в точке . Воспользуемся при этом следующим определением.

Определение 7.1. Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей при стремлении точки к точке вдоль кривой .

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке зависит от значения основания логарифма . Из всех значений выделим то, для которого угловой коэффициент касательной . Это значение обозначим через . Последнее является иррациональным числом: . Логарифмы по основанию называются натуральными логарифмами и обозначаются символом «».

Теорема 7.2. Справедливо соотношение

.

Доказательство. Обратимся к рис. 7.2. Рассмотрим угловой коэффициент секущей

.

Рис. 7.2.

Угловой коэффициент касательной (с углом наклона ) может быть получен как предел углового коэффициента секущей при , то есть при .Таким образом,

.

После замены получим

.

Теорема 7.2 доказана.

3) Теорема 7.3. Для справедливо соотношение:

.

Доказательство. Введем переменную , откуда . Если , то . Тогда

.

Теорема 7.3 доказана.

4) Теорема 7.4. Для справедливо соотношение:

.

Доказательство. Будем рассматривать значения . Введем переменную . Из определения переменной следует, что , откуда . Если , то . Умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на равные величины и соответственно и по теореме 6.2 перейдем к произведению пределов

.

В силу теоремы 7.2

.

Теорема доказана.

Пример 7.1. Вычислить предел

, .

Решение. Имеем неопределенность типа . Введем обозначение . В силу теоремы 6.2 если , то . По теореме 7.1 получим:

.

Пример 7.2. Вычислить предел

, .

Решение. Имеем неопределенность типа . Преобразуем выражение под знаком предела:

По теореме 6.2 перейдем к произведению пределов. Введем обозначения , . По теореме 6.2 если , то и . Используя теоремы 7.3 и 7.4, получим:

Пример 7.3. Вычислить предел

.

Решение. Имеем неопределенность типа . Вынося за скобки общий множитель , преобразуем рассматриваемое выражение, используя свойства логарифмов:

.

Введем обозначение . В силу теоремы 4.1 (об обращении бесконечно малых и бесконечно больших) если , то . Используя теорему 7.2, получим:

.