Задачи к §6
Задача 1. Найти пределы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
;
н)
;
о)
;
п)
.
Указание. При решении примеров а), б), в) следует непосредственно использовать теоремы 6.1 и 6.2.
В примерах г), д) следует использовать определения бесконечно малой и бесконечно большой функций (определения 2.6 и 4.1) и теоремы 3.3, 3.4 и 4.1.
При раскрытии неопределенностей в последующих примерах следует использовать приемы I–IV.
Решение.
а)
.
Ответ:
.
б)
.
Ответ:
.
в)
.
Ответ:
.
г)
Величина
при
является бесконечно большой:
;
.
Непосредственно применить здесь теорему
6.1 невозможно. Используем определения
2.6 и 4.1 бесконечно малой и бесконечно
большой функций.
Покажем,
что
.
Действительно, выбирая произвольное
,
укажем для него
.
Если
,
то
,
тогда будет выполнено
.
Покажем,
что
.
Действительно, выберем произвольное
и укажем для него
(
).
Если
,
то
,
тогда
.
Ответ:
,
.
д)
Непосредственно применить теорему 6.2
нельзя, так как по теореме 6.1 получим
.
Поэтому будем использовать теорему
4.1. Поскольку
и
в окрестности точки
,
будем иметь
.
Ответ:
.
е)
Здесь возникает неопределенность типа
.
Воспользуемся правилом, сформулированным
в замечании 6.4, получим
.
Ответ:
.
ж)
Имеем неопределенность типа
.
Разделим и числитель, и знаменатель на
,
получим:
.
Ответ:
.
з)
Здесь возникает неопределенность
,
так как
,
.
Для ее раскрытия разложим числитель и
знаменатель на множители и сократим их
на общий множитель:
.
Ответ:
.
и)
Имеем неопределенность типа
.
Разложим числитель и знаменатель на
множители, сократим их на общий множитель
и воспользуемся теоремой 4.1. Получим
.
Ответ:
.
к)
Здесь возникает неопределенность типа
.
Домножим числитель и знаменатель на
«сопряженное» к числителю иррациональное
выражение, затем разложим числитель и
знаменатель на множители и сократим их
на общий множитель, получим:
.
Ответ:
.
л)
Имеем неопределенность типа
.
Домножим числитель и знаменатель на
одинаковые иррациональные выражения
так, чтобы в числителе появилась разность
квадратов, а в знаменателе – разность
кубов, затем разложим их на множители
и сократим их на общий множитель. Получим
.
Ответ:
.
м)
Здесь следует рассмотреть два отдельных
случая:
и
.
Пусть
,
используя теорему 4.2, получим
.
Пусть
,
тогда имеет место неопределенность
.
Умножим и разделим исходное выражение
на «сопряженное» выражение и воспользуемся
теоремой 4.1. Получим
.
Ответ:
искомый предел при
не существует, существуют различные
пределы при
и при
:
,
.
н)
Здесь возникает неопределенность типа
.
Приведем дроби к общему знаменателю,
затем разложим числитель и знаменатель
на множители и сократим их на общий
множитель. Получим
.
Ответ:
.
о)
При вычислении предела аргумента синуса
возникает неопределенность типа
.
Вычислим этот предел:
.
Тогда по теореме 6.1 получим:
.
Ответ:
.
п)
Здесь при вычислении предела аргумента
логарифма возникает неопределенность
типа
.
Вычислим этот предел:
.
По теореме 6.1 получим:
.
Ответ:
.