3. Определение расчётных статистических характеристик (мер положения, рассеивания, и форм кривой распределения)

а) определение мер положения

Среднее арифметическое значение является первым начальным моментом и вычисляется по формуле:

Xср=20,67

ni - частота каждого интервала;

Xi –среднее арифметическое значение выборки (мг/л)

Мода (значение, имеющее максимальную частоту, т.е. наиболее часто встречаемое значение случайной величины в выборке) определяется по формуле:

М0=X0+ h*

М0=19,78+1,22*1=21

X0 – начало модального интервала (мг/л)

Медиана – срединный элемент выборки – определяется по формуле:

Me=X0+h*

Ме=19,78+1,22*0,75=20,695

б) меры рассеивания

Характеристикой рассеивания или отклонения случайной величины от центра распределения выступает дисперсия – второй центральный момент.

Дисперсия вычисляется по формуле:

M2=D=

М2=3,195

σ – средне квадрат. отклонение

σ =

σ=1,787

Нормированное отклонение определяется коэффициентом вариации:

Сv=σ/Xср*100%

Cv=8,6%

в) характеристики формы кривой распределения

Характеристиками формы кривых распределения выступают третий и четвёртый центральные моменты. Третий центральный момент характеризует асимметричность ряда, т.е. неравномерность распределения случайной величины относительно центра и определяется по формуле:

М3=

M3=0,7098

Безразмерный коэффициент асимметрии (Cs) определяется отношением третьего центрального момента к кубу среднего квадратичного отклонения:

Cs=M3/ σ* σ* σ

Cs=0,124

Четвёртый центральный момент характеризует форму симметричной кривой распределения и называется эксцесс (островершинность).

Формула: М4=

М4=23,461

Показателем островершинности выступает коэффициент эксцесса (Се), который определяется по формуле: Се=М4/ σ* σ* σ* σ-3

Се=-0,7

Так как ряд вариационный и сгруппированный, то для расчётов центральных моментов можно использовать следующие формулы:

ML= Zi=(Xi-Xср) L=2,3,4

Определение центральных выборочных моментов

K	ni	Zi	Zi^2	Zi^3	Zi^4	ni*Zi^2	ni*Zi^3	ni*Zi^4
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	5	-2,72	7,4	-20,12	54,73	37	-100,6	273,65
2	4	-1,5	2,25	-3,375	5,0625	9	-13,5	20,25
3	8	-0,28	0,0784	-0,021	0,0061	0,6272	-0,168	0,0488
4	8	0,94	0,8836	0,83	0,78	7,0688	6,64	6,24
5	2	2,16	4,66	10,071	21,767	9,32	20,142	43,534
6	3	3,31	10,95	36,26	120,036	32,85	108,78	360,108
∑	30				∑	95,866	21,294	703,83