3. Законы сохранения

Закон сохранения энергии широко применяется в решении задач на вращательное движение твердого тела, особенно в случаях неравномерного вращения, происходящего под действием переменного момента сил. Все рекомендации по применению закона сохранения энергии, сделанные в пункте 2 части V, относятся и к случаю вращения твердого тела.

Закон сохранения момента импульса во вращательном движении, также как и закон сохранения импульса в поступательном движении, позволяет исключить из рассмотрения любые силы, действующие внутри системы, в том числе и силы трения. Поэтому закон применяют в тех задачах на вращательное движение твердого тела (или системы тел), где характер изменения сил сложен или вообще неизвестен. Моменты импульсов всех тел следует рассматривать относительно одной оси. При этом результирующий момент всех внешних сил, приложенных к системе, должен быть равен нулю.

Решение задач

7.10. Человек массы m₁ стоит на краю горизонтального однородного диска массы m₂, который может свободно вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр. В некоторый момент человек начал двигаться по краю диска, совершил перемещение на угол относительно диска и остановился. Пренебрегая размерами человека, найти угол, на который повернулся диск к моменту остановки человека.

Решение. Направим ось Z, относительно которой вращается диск, перпендикулярно плоскости диска (рис.64). Система замкнута, поэтому, учитывая, что до начала движения она покоилась, а после начала движения момент импульса относительно оси Z складывается из момента импульса человека и момента импульса диска, запишем закон сохранения момента импульса относительно оси Z

,

, (1)

где и моменты инерции человека и диска относительно оси вращения, которые соответственно равны и . Учитывая, что , уравнение (1) примет вид

,

.

После интегрирования получим

, (2)

где и углы поворота человека и диска относительно Земли.

Перемещаясь по диску, человек заставляет его двигаться в противоположную сторону. Поэтому, угол перемещения человека относительно диска равен (рис.64):

.

Подставив все переменные в уравнение (2), получим уравнение

,

решив которое, получим искомую величину:

.

Знак «–» означает, что направление вращения диска и угловое перемещение человека противоположны.

VIII. Механика несжимаемой жидкости

При изучении движения жидкостей их рассматривают как сплошную непрерывную среду, не вдаваясь в молекулярное строение жидкостей. Жидкость, плотность которой всюду одинакова и изменяться не может, называется несжимаемой.

Для решения задач на эту тему дополнительно к тому, что было изложено выше, необходимо добавить два уравнения - уравнение непрерывности и уравнение Бернулли.

Согласно уравнению непрерывности

или ,

объём жидкости, протекающий через любое поперечное сечение S данной трубки за единицу времени одинаков, где - скорость жидкости в сечении.

Уравнение Бернулли основано на законе сохранения механической энергии

,

где - плотность жидкости; – её скорость в любом сечении; P - давление; h - уровень жидкости в любом сечении, отсчитываемый от некоторого уровня, принятого за нулевой.