VII. Динамика твердого тела

1. Момент инерции системы материальных точек

Момент инерции - скалярная величина, характеризующая распределение массы тела по отношению к оси вращения

,

где и - масса и расстояние от оси вращения i-ой частицы твердого тела. Момент инерции является мерой инертности твердого тела по отношению к вращательному движению, то есть играет ту же роль, что и масса для поступательного движения.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

.

Теорема Штейнера связывает момент инерции I относительно произвольной оси с моментом инерции I_с относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс твердого тела

,

где m - масса тела, a - расстояние между осями.

Теорема о взаимно перпендикулярных осях: момент инерции плоского тела относительно произвольной оси Z, перпендикулярной его плоскости, равен сумме моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей X и Y, лежащих в плоскости тела и пересекающихся с осью Z:

.

Решение задач

7.1 Вычислить момент инерции тонкого стержня длиной l и массой m относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через его конец.

Решение. Разобьем стержень на отдельные участки малой длины dx, расстояние до каждого из которых определяется его координатой x (рис.54). Масса каждого такого участка равна

.

Тогда момент инерции каждого такого малого участка равен

.

Проинтегрировав левую часть полученного уравнения от 0 до I, а правую - от 0 до l, найдем момент инерции тонкого стержня относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через его конец

.

7.2. Вычислить момент инерции однородного диска массой m и радиусом R относительно:

а) оси симметрии,

б) оси симметрии, лежащей в его плоскости.

Решение. а) Разобьем диск на концентрические кольца малой ширины dr, расстояние до которых от оси 0 равно r (рис.55). Масса каждого такого элементарного кольца равна

.

Тогда момент инерции элементарного кольца равен

.

Проинтегрировав левую часть полученного уравнения от 0 до I, а правую - от 0 до R, найдем момент инерции диска относительно оси симметрии

.

б) согласно теореме о взаимно перпендикулярных осях (рис.56)

.

Поскольку диск - фигура симметричная, то моменты инерции диска относительно осей X и Y равны

.

7.3. Найти момент инерции системы, показанной на рис.57, относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа.

Решение. Согласно свойству аддитивности, момент инерции системы тел, показанных на рисунке, равен

.

Согласно результату задачи 7.1 момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его конец равен . Воспользовавшись теоремой Штейнера, найдем момент инерции тонкого стержня относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через точку C (центр масс)

,

.

Тогда момент инерции стержня относительно оси O, согласно теореме Штейнера равен

.

Согласно результату задачи 7.2(а) момент инерции однородного диска относительно оси симметрии равен .

Искомый момент инерции системы относительно оси O равен

.

2. Уравнения движения твердого тела

В динамике твердого тела рассматривают два основных вида движения – поступательное и вращательное. При поступательном движении отрезок, соединяющий любые две точки тела, перемещается параллельно самому себе. Поскольку все точки тела движутся одинаково, достаточно описать движение одной точки. При вращательном движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на прямой, называемой осью вращения (при этом скорости всех точек перпендикулярны оси вращения).

Плоское движение твердого тела можно представить как совокупность двух основных видов движения - вращательного относительно какой-либо оси и поступательного со скоростью оси.

Обычно ось вращения выбирают так, чтобы она проходила через центр масс тела. Поступательное движение центра масс описывается вторым законом Ньютона, а вращательное движение в системе центра масс описывается уравнением моментов

; ,

где - момент инерции твердого тела относительно оси вращения. При качении однородного цилиндра (шара, колеса) по плоскости без проскальзывания между линейными величинами, характеризующими движение центра масс тела (скоростью и ускорением ), и угловыми величинами (угловой скоростью и угловым ускорением ), определяющими вращательное движение тела, существуют соотношения

,

.

Кинетическая энергия плоского движения равна

.

Плоское движение можно рассматривать как чисто вращательное относительно мгновенной оси вращения (раздел II, задача 2.4). Мгновенная ось - это ось, проходящая через неподвижные в данный момент точки тела. Положение мгновенной оси меняется со временем. Например, в случае катящегося по плоскости цилиндра (шара, колеса) мгновенная ось в каждый момент времени совпадает с линией касания цилиндра и плоскости.

При решении задач необходимо:

1) записать второй закона Ньютона для центра масс твердого тела;

2) записать основное уравнения динамики вращательного движения, относительно оси вращения в скалярной форме, заменяя соответствующие величины (угловое ускорение, момент силы и т.д.) проекциями этих векторов на ось вращения;

3) если число записанных уравнений меньше числа неизвестных, то необходимо использовать кинематические и динамические связи между неизвестными. Таким образом, получают систему уравнений, число которых равно числу неизвестных.