Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
стр 102 по 132.doc
Скачиваний:
11
Добавлен:
08.11.2018
Размер:
1.44 Mб
Скачать

.

Поскольку труба горизонтальна, то . Уровни жидкости в манометрических трубках характеризует давление жидкости в сечении:

и ,

где - давление на оси трубки, и - уровень жидкости в манометрических трубках. Тогда,

,

,

.

Согласно теореме о непрерывности

.

Решая совместно последние два уравнения, получим

,

,

.

Объём жидкости, протекающий в единицу времен через сечение трубы, равен

.

8.2. Вертикальная струя идеальной жидкости вытекает из горизонтального отверстия радиуса r0 со скоростью . Найти радиус струи r на уровне h ниже отверстия.

Решение. Из уравнения непрерывности (рис.66):

,

.

Запишем уравнение Бернулли:

.

Давление в любой точке равно P0 - атмосферному давлению. Высота h отсчитывается от уровня , положение которого показано на рис.66. После математических преобразований получим

,

тогда

.

8.3. Из отверстия в дне высокого цилиндрического сосуда вытекает вода. Площадь сечения сосуда в раз больше сечения отверстия. Найти ускорение, с которым перемещается уровень воды в сосуде.

Решение. Рассмотрим два уровня жидкости (рис.67), один - на уровне свободной поверхности жидкости в цилиндре (координата x), другой - на уровне отверстия снаружи. Вблизи отверстия и на уровне x давление атмосферное P0.

,

.

Согласно уравнению непрерывности

,

откуда

,

.

Продифференцируем последнее уравнение по времени:

.

Знак «–» в правой части появляется вследствие того, что (уровень понижается).

или в векторной форме:

.

Завершим этот раздел рассмотрением течения вязкой жидкости. В этом случае между слоями жидкости действует сила трения, рваная

,

где - коэффициент внутреннего трения или вязкость, S - площадь соприкосновения слоёв жидкости, - градиент модуля скорости в направлении, перпендикулярном S.

8.4*. По трубе радиуса R течёт стационарный поток вязкой жидкости. На оси трубы её скорость . Найти скорость жидкости как функцию расстояния r от оси трубы.

Решение. Скорость жидкости у стенок трубы равна нулю, а на оси . Выделим цилиндрический объём жидкости радиуса r и длины l (рис.68). Поскольку все элементы жидкости движутся без ускорения, то сумма всех сил, действующих на этот объём равна нулю. В проекции на ось X:

,

где P1 и P2 - давления жидкости на переднее и заднее основания выделенного цилиндрического объема соответственно.

Сила трения, действующая между двумя слоями жидкости, равна:

,

где S - площадь поверхности выделенного объёма. Кроме того . Поэтому,

,

.

Проинтегрируем левую часть полученного выражения от до 0 (скорость у стенок равна 0), а правую от r до R

.

.

При r = 0

,

откуда

.

IX. Релятивистская механика

1. Кинематика

Задачи этого параграфа носят иллюстративный характер, то есть представляют собой выводы, основанные на применении преобразований Лоренца, некоторых основных положений специальной теории относительности (сокращение длин, изменение промежутков времени, относительность понятия одновременности событий).

Решение задач

Лоренцево сокращение длины

9.1. Стержень движется в продольном направлении с постоянной скоростью относительно инерциальной K-системы отсчёта. При каком значении длина стержня в этой системе отсчёта будет на меньше его собственной длины?

Решение. В системе отсчёта, связанной с самим стержнем, его длина l0 - собственная длина, которая связана с его длиной l в системе K соотношением:

.

По условию задачи :

,

откуда

.

9.2. Найти собственную длину стержня, если в некоторой K-системе отсчёта его скорость , длина l и угол между ним и направлением движения .

Решение. В поперечном направлении (оси и рис.69) длина стержня не меняется, то есть

.

Вдоль оси X в системе K длина стержня , в системе, связанной со стержнем, его длина в этом направлении l0x и связь между ними:

,

,

тогда собственная длина:

,

,

где .

Замедление хода движущихся часов

9.3. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы . Какой путь пролетит эта частица до распада в лабораторной системе отсчёта, где её время жизни .

Решение. Путь l, пройденный частицей в лабораторной системе отсчёта: . Связь между и :

,

где . Поэтому

,

.

9.4. С какой скоростью двигались в K-системе отсчёта часы, если за время tK-системе) они отстали от часов этой системы на .

Решение. Пусть в момент t = 0 в системе K, движущиеся часы показывали тоже t0 = 0. Тогда:

и

.

2. Динамика

В релятивистской механике импульс частицы массы m, движущейся со скоростью

.

Полная энергия такой частицы

.

Решение задач

9.5. Найти скорость, при которой релятивистский импульс частицы в раз () превышает её Ньютоновский импульс.

Решение. Релятивистский импульс:

.

Ньютоновский импульс . По условию задачи:

,

.

9.6. При какой скорости кинетическая энергия частицы равна её энергии покоя?

Решение. Кинетическая энергия частицы определяется как:

,

то есть как разность между полной энергией и энергией покоя. По условию задачи

,

.

По существу, в теории относительности при любом характере взаимодействия тел (при отсутствии внешних воздействий) всегда справедливы законы сохранения импульса и энергии. Полная энергия частиц E и их импульс P связаны соотношением

,

где M - масса образовавшейся частицы.

9.10. Две частицы, каждая массы m, летят навстречу друг другу с одинаковой скоростью . Найти , если масса образовавшейся при столкновении частицы равна M.

Решение. Полная энергия частицы E и ее импульс P связаны соотношением

,

где M - масса образовавшейся частицы. В нашем случае P = 0, так как две одинаковые частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями, следовательно, скорость образовавшейся частицы равна нулю. До столкновения полная энергия двух частиц:

.

Поэтому

,

откуда

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]