2.Законы изменения и сохранения энергии
Механическая энергия системы равна сумме потенциальной и кинетической энергий:
.
Механическая энергия сохраняется, если на систему действуют только консервативные силы. Если система состоит их нескольких тел, то для сохранения механической энергии внутренние силы тоже должны быть консервативными. Применение закона сохранения энергии, связывающего начальное и конечное состояние системы взаимодействующих тел, упрощает решение подобных задач, так как позволяет не рассматривать действующие между телами силы.
Если при переходе системы из начального состояния в конечное на тела системы действовали внешние силы, а в системе действовали диссипативные силы, то
,
где
и
-
начальная и конечная энергии системы,
-
работа внешних сил,
-
работа диссипативных (неконсервативных)
сил.
Кинетическая энергия системы зависит от выбора системы отсчета, изменяясь при переходе от одной системы отсчета к другой. Поэтому, составляя уравнение, выражающее закон сохранения энергии, необходимо рассматривать движение тел в одной и той же инерциальной системе отсчета. В неинерциальной системе отсчета на тела действуют силы инерции, которые всегда являются внешними по отношению к данной системе тел.
При решении задач на основании закона сохранения энергии необходимо:
1) выбрать два положения тела (системы тел);
2) выбрать уровень, от которого отсчитывается потенциальная энергия в поле силы тяжести;
3) вычислить механическую энергию в обоих положениях;
4) если число неизвестных больше числа составленных уравнений, записать уравнение движения тела (второй закон Ньютона).
Решение задач
5
.7.
Гладкий резиновый шнур, длина которого
l
и жёсткость k,
подвешен одним концом к точке O
(см. рис.40). На другом конце имеется упор
B.
Из точки O
начинает падать небольшая муфточка A
массы m.
Пренебрегая массами шнура и упора, найти
максимальное растяжение шнура.
Решение.
Рассмотрим
два положения муфты: положение I
соответствует точке O
(рис.40), положение
II
- моменту,
когда шнур максимально растянут. В этом
положении скорость муфты равна нулю,
максимальное удлинение шнура -
.
Потенциальную энергию в поле силы тяжести (П = 0) будем отсчитывать от уровня, при котором шнур максимально растянут.
Вычислим механическую энергию системы в ее начальном I и конечном II положении
,
.
В обоих положениях кинетическая энергия равна нулю.
На шайбу действуют только консервативные силы mg и сила упругости, следовательно, полная механическая энергия этой системы будет сохраняться
,
.
После
математических преобразований, получим
квадратное уравнение относительно
.
Решив которое, найдем:
.
Отрицательный корень уравнения должен быть отброшен, так как он соответствует сжатию шнура, тогда как на самом деле он растягивается. Поэтому
.
5.8. Небольшая шайба массы m начинает скользить, если её положить на вершину шероховатой поверхности полусферы радиусом R. Продолжая скользить, шайба отрывается от полусферы на высоте h от горизонтального основания полусферы. Найти работу сил трения, действующих на шайбу при её соскальзывании.
Решение. Рассмотрим два положения шайбы:
положение
I
соответствует начальному моменту
времени (шайба находится в вершине
полусферы),
положение II соответствует моменту времени, когда шайба отрывается от полусферы (рис.41). Уровень отсчёта потенциальной энергии в поле силы тяжести обозначен на рисунке П = 0. В положении I шайба покоится и поэтому обладает только потенциальной энергией
.
В
момент отрыва шайба движется со скоростью
,
поэтому ее энергия складывается из
кинетической и потенциальной
.
В системе действует диссипативная сила трения, поэтому:
.
Подставив
в уравнение полученные ранее значения
и
,
получим
.
(1)
Уравнение
содержит две неизвестных
и
.
Поэтому запишем уравнение движения
шайбы (второй закон Ньютона). В момент
отрыва N = 0.
Выберем ось X
в направлении нормального ускорения,
и в проекциях на эту ось
,
где
(рис.41). Тогда, скорость шайбы в момент
отрыва равна
.
Подставив полученную скорость в
уравнение в (1), получим
,
.