3.Совместное применение законов сохранения

Если рассматриваемая система состоит из двух взаимодействующих между собой тел, то совместно используются законы сохранения импульса и энергии системы.

Сюда относятся задачи на упругий удар или взаимодействие тел, представляющих собой замкнутую систему, когда отсутствуют диссипативные силы (трения, упругих деформаций) и когда у тел в результате взаимодействия изменяются скорости. При этом сохраняется как импульс, так и энергия системы.

В случае неупругого удара полная механическая энергия системы не сохраняется, она частично или полностью переходит во внутреннюю энергию (тела нагреваются). В этом случае изменение механической энергии равно работе диссипативных сил . Импульс системы при этом сохраняется.

Иногда решение задачи упрощается, если ее решать в системе центра масс (раздел IV). В этой и только в этой системе отсчета суммарная кинетическая энергия частиц может обращаться в нуль в случае их относительного покоя. Энергия системы частиц в такой системе складывается из суммарной энергии частиц в системе центра масс и энергии, связанной с движением системы частиц как целого (движение центра масс)

.

Решение задач

5.9*. На гладкой горизонтальной плоскости находятся две небольшие шайбы с массами m₁ и m₂, соединённые между собой невесомой пружиной. Шайбам сообщили начальные скорости и , направления которых взаимно перпендикулярны и лежат в горизонтальной плоскости. Найти механическую энергию этой системы в системе её центра масс.

Решение. Кинетическая энергия системы частиц (рис.42) складывается из суммарной кинетической энергии в системе центра масс и кинетической энергии, связанной с движением системы частиц как целого

,

где - кинетическая энергия в системе центра масс, – скорость центра масс (раздел IV), равная

.

Таким образом

.

По условию , поэтому , поэтому

.

Поскольку в системе действуют только консервативные силы, потенциальная энергия системы не меняется, следовательно :

.

5.10. Частица A массы m, пролетая вблизи другой, первоначально покоившейся частицы B, отклоняется на угол . Импульс частицы A до взаимодействия был , после взаимодействия стал p. Найти массу частицы B, если система замкнутая.

Решение. По условию рассматриваемая система замкнута, поэтому согласно закону сохранения импульса, импульс системы сохраняется

,

где M и - масса и скорость частицы B. Преобразуем векторное уравнение в скалярное (рис.43)

(1)

Используя связь между величиной импульса и кинетической энергии , запишем закон сохранения энергии:

. (2)

Выразим из (2) и, подставив эту величину в (1), получим массу частицы B

.

5.11. Небольшая шайба массы m без начальной скорости соскальзывает с гладкой горки высотой h и попадает на доску массы M, лежащую у основания горки на гладкой горизонтальной плоскости. Вследствие трения между шайбой и доской шайба тормозится и, начиная с некоторого момента, движется вместе с доской как единое целое. Найти суммарную работу сил трения в этом процессе.

Решение. Весь путь шайбы можно разбить на два этапа: первый этап – движение по гладкой горке (участок 1-2 на рис.44), второй этап - движение по шероховатой доске (участок 2-3 на рис.). Уровень отсчёта потенциальной энергии обозначен на рисунке П = 0.

Рассмотрим движение шайбы по горке (участок 1-2). В начальный момент времени (точка 1) шайба обладает только потенциальной энергией . В момент попадания на доску (точка 2, уровень П = 0) шайба обладает только кинетической энергией , где - скорость шайбы в точке 2. Горка гладкая, поэтому энергия шайбы сохраняется

,

,

откуда скорость шайбы в момент ее попадания на доску (точка 2) равна

.

Рассмотрим движение шайбы по шероховатой доске (участок 2-3). Силы, действующие между шайбой и доской внутренние, все внешние силы компенсируют друг друга, поэтому , где - импульс шайбы в момент ее попадания на доску, - импульс системы шайба-доска, когда скорости шайбы и доски сравнялись (шайба относительно доски покоится)

,

где - скорость системы шайба-доска, которая равна

.

Согласно закону изменения механической энергии системы

.

Учитывая, что , последнее уравнение примет вид

,

подставив в которое значение , полученное ранее, найдем работу сил трения

.

5.12. В результате упругого столкновения частицы массы m₁ с покоившейся частицей массы m₂, она отскочила под прямым углом к своему первоначальному направлению движения. Какую относительную часть кинетической энергии потеряла налетающая частица?

Решение. В задаче рассматриваются две упруго взаимодействующие частицы, следовательно, применимы законы сохранения импульса и энергии.

Согласно закону сохранения импульса

,

где - скорость налетающей частицы до столкновения, - её скорость после столкновения, - скорость первоначально покоившейся частицы после столкновения. На рис.45 закон сохранения импульса представлен в виде сложения векторов, из которого скалярное выражение закона

. (1)

До соударения кинетическая энергия налетающей частицы . Поскольку удар упругий, то энергия, потерянная налетающей частицей, равна энергии, полученной первоначально покоившейся частицей, следовательно

,

где - относительную часть кинетической энергии, которую потеряла налетающая частица. Разделим уравнение (1) на :

. (2)

Согласно закону сохранения энергии:

.

Разделим полученное уравнение на :

. (3)

Решив систему уравнений (1), (2) и (3) относительно , получим

,

,

.

5.13*. Гладкий лёгкий горизонтальный стержень AB может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец A. На стержне находится небольшая муфточка массы m, соединённая невесомой пружиной длины l₀ с концом A. Жёсткость пружины равна k. Какую работу надо совершить, чтобы эту систему медленно раскрутить до угловой скорости ?

Решение. Выберем систему отсчета, связанную с Землей. Рассмотрим два состояния системы (рис.46). В состоянии I стержень и муфта покоятся, и пружина не деформирована. В этом состоянии механическая энергия системы

.

В состоянии II стержень и муфта вращаются с угловой скоростью , и пружина деформирована (растянута) на величину . Так как стержень вращается плавно, в этом состоянии механическая энергия системы складывается из кинетической энергии муфты и потенциальной энергии упругой деформации пружины

.

Работа внешней силы равна изменению механической энергии системы

.

Величину растяжения пружины определим из уравнения движения (второго закона Ньютона), записанного в проекции на ось X (рис.46). В состоянии II муфта находится в равновесии, поэтому

,

,

откуда .

После подстановки найдем искомую работу внешней силы

.