Точечный прогноз

В рамках обобщенной модели как только имеем автокорреляцию, к регрессионному прогнозу добавляется некий дополнительный член.

Выпишем частный случай, когда остатки связаны моделью автокорреляции первого порядка. Допустим, что нужен прогноз через один такт времени. Т.е. в момент . Задан вектор .

.

Первое слагаемое - наилучший прогноз без автокорреляции. Второе слагаемое - невязка, оцененная обощенным методом наименьших квадратов.

Статистика Дарбина-Уотсона (dw)

,

.

При отсутствии автокорреляции статистика близка к двум. Проверяется нулевая гипотеза: . При этом возникают две зоны неопределенности. При больших имеем отрицательную автокорреляцию. Как правило рассматриваются только краткосрочные прогнозы на два-три такта времени.

Причинность по Гренджеру

Условное понимание причинной зависимости. Изменение значения переменной предшествует изменению значения аргумента. Это правило полезно для отбора предикторов.

Итак, пусть - зависимая переменная, определяемая постановкой. - кандидат на объясняющую переменную.

Основная идея: если x является причиной изменения y, то изменения в значениях x должны предшествовать изменениям в значениях y.

Реализация:

;

.

В пакетах перебираются различные варианты значений m, как правило, от одного до четырех. Проверяется следующая гипотеза:

Необходимо, чтобы была отвергнута, а - принята. Это и будет причинная зависимость по Гренджеру. Если же одновременно отвергается и принимается , значит есть другие переменные, которые влияют и на x, и на y. Следовательно, необходимо расширять класс предикторов.

Модели с лагами

Пусть наблюдается некий предиктор и зависимая переменная:

,

индекс - номер такта временного наблюдения.

Необходимо построить модель зависимости y от x, но в правой части могут быть и наблюдения в предшествующие такты. Имеет место распределенный во времени эффект воздействия.

В качестве примера можно взять моделирование процесса трансформации затрат в результат. Рассматривается уравнение:

.

Число наблюдений для оценивания: .

Первое наблюдение: . Число имеющихся наблюдений N должно быть значительно больше чем лаг.

Пример.

1. - расходы населения в такт времени t, - располагаемый доход. Тогда можно интепретироватькак долю дохода, реализуемую через k тактов времени после его получения. Тогда выполняется условие из-за теневого дохода.

2. - объем основных фондов, введенных в эксплуатацию в течение такта t, - объем капитальных вложений. - доля капитальных вложений, реализованных через к тактов времени после отпуска. за счет накладных расходов.

Геометрическая тсруктура лага следует из поведения инвестора.

Можно ввести новые обозначения переменныхследующим образом: . Однако этой модели будет свойственна высокая мультиколлинеарность. И во-вторых, число наблюдений может оказаться сопоставимо с длиной лага.

Поэтому эту модель необходимо перепараметризовать.

Предполагается, что . Предлагается три основных способа:

1. геометрическая структура лага (Койк)

2. полиномиальная структура (Ширли Алмонд)

.

Обычно m принимается в пределах от 1 до 3, то есть полагается невысокий порядок полинома.

3. нормированная структура

Вводится обозначение , , .

Веса можно интерпретировать как распределение вероятностей. , тогда - время реализации накопленных ресурсов.

В качестве примера можно взять биномиальный закон:

.

Таким образом, вся структура лага параметризована одним параметром.

Как правило, метод параметриации вытекает из структуры задачи. Так, например, геометрическая структура лага оправдана при задачах на инвестиции, расходы для введения основных фондов лучше опимывать вероятностной или полиномиальной структурой.