Электромагнитные волны

Волновое уравнение для электромагнитной волны. Рассмотрим нейтральную непроводящую среду с проницаемостями  и , где и (54) . Поскольку в данном случае плотности токов и зарядов равны нулю (=0, j=0), уравнения Максвелла в дифференциальной форме будут иметь вид

(I) (II)

(III) (IV).

Подставим в уравнение (III) и продифференцируем его по времени:

,

где мы использовали правило преобразования двойного векторного произведения («bac-cab»):

.

Из (IV) уравнения Максвелла и равенства (54) следует, что , и в результате остается волновое уравнение для вектора (и для вектора , если по тому же рецепту продифференцировать уравнение (I) и т. д…)

, (55)

. (56)

Множитель при второй производной по времени определяет скорость распространения волны

, (57)

что для вакуума (=1,=1) дает удивительный результат: скорость волны равна скорости света

. (58)

Таким образом, из уравнений Максвелла следует, что свет является электромагнитной волной. И наоборот, переменное электромагнитное поле в вакууме распространяется со скоростью света, независимо от своей частоты! Рассмотрим простейшую электромагнитную волну.

Плоская электромагнитная волна. Пусть плоская волна распространяется вдоль оси х. Поскольку волновые поверхности (плоскости) будут в этом случае перпендикулярны оси х, то векторы и , а  и их проекции на оси y и z не будут зависеть от y и z (иначе волна не могла бы распространяться строго в направлении оси х). Следовательно, в уравнениях Максвелла (I-IV) производные по y и z будут равны нулю и уравнения упрощаются. Чтобы это показать, распишем уравнения Максвелла (rot - с помощью определителей), оставив во всех уравнениях только векторы и , что легко сделать с учетом (54).

(I)

(III)

(IV)

(II)

Распишем векторные уравнения (I) и (III) в проекциях, и то, что осталось от уравнений (IV) и (II) (должно быть всего 8 скалярных уравнений):

,  ; (I)

Хочется в этом месте Вас подбодрить, но ничего утешительного сказать не могу,- идём дальше! Будьте внимательны! По разные стороны от знака (=) проекции на разные оси!

,  ; (III)

Ничего, что в верхних уравнениях (ох:...) в рамках опущены не равные нулю множители?

(IV) (II).

Из проекций на ох в (I) и (III) следует, что Н_х и Е_х не зависят от времени, а из (IV) и (II) - что эти проекции не зависят также и от х. Следовательно, Н_х и Е_х могут быть только постоянными однородными полями, накладывающимися на поле волны. Они не будут распространяться и поэтому не будут нас в дальнейшем интересовать. Во всяком случае, переменные Н_х и Е_х равны нулю. Следовательно, отличными от нуля переменными компонентами векторов и остаются только их проекции на оси y и z, которые перпендикулярны направлению распространения, следовательно, электромагнитная волна является поперечной. Кроме, того, векторы и ортогональны между собой. Действительно, выпишем рядом третье уравнение из рамки (I) и второе из (III):

; (59)

Из рассмотрения этой пары видно, что изменение во времени поля вдоль оси z порождает электрическое поле вдоль оси y и наоборот: изменение электрического поля вдоль оси y порождает магнитное поле вдоль оси z. При этом не возникает ни поле E_z, ни поле H_y. А это и значит, что  . Векторы и в электромагнитной волне взаимно ортогональны! Из полученной пары (59) нетрудно получить волновое уравнение, например, продифференцировать первое из них по координате, а второе по времени. После чего будет легко увидеть, что вторые производные от E_y по времени и координате связаны волновым уравнением

, (60)

и аналогично можно получить волновое уравнение для H_z

. (61)

Ранее из уравнений Максвелла были получены волновые уравнения (55,56) в более общем случае, что позволяет уравнения (60,61) написать для любой проекции. Но тогда мы потеряли бы информацию о геометрии волны.

Как связаны мгновенные значенияи ? Пусть E_y = E_y (t-x/с), H_z= H_z (t-x/с). Обозначим фазу φ≡(t-x/с) и вычислим производные: от E_y по координате х; от H_z по времени:

; .

Подставим эти производные в первое из уравнений (59)

,, где константа обусловлена наличием постоянной компоненты полей. Нас интересует только переменное поле, для которого положим const=0, 

, (62)

э то означает, что векторы и изменяются синхфазно, в частности, одновременно обращаются в нуль и достигают максимумов/минимумов. Кроме того, эти векторы составляют правовинтовую систему с направлением распространения (рис.14). По этим свойствам и направлению распространения волны можно однозначно определить в каких именно плоскостях колеблются векторы и (- в плоскости xy; - в плоскости xz) , поэтому уравнения плоской электромагнитной волны принято записывать без указания проекций:

Е=E_m cos(t-kx); H=H_m cos(t-kx). (63)

NB! Обратите внимание! На рис.14 изображена электромагнитная волна: векторы и в каждой точке оси х в некоторый момент времени! Через время, равное половине периода колебаний картина изменится (рис.15). Вообще картина непрерывно изменяется не только в пространстве, но и во времени!

Полезный совет: обратите внимание сейчас, что изображенные на рис. 14 и 15 мгновенные фотографии волны позволяют наглядно увидеть, что вектор в процессе распространения волны все время колеблется в плоскости xy! Поэтому данная волна является плоско-поляризованной! Обязательно вернитесь к этим картинкам позже, когда мы будем изучать поляризованный свет.

Энергия электромагнитной волны. В сущности, - это энергия электромагнитного поля. Плотность этой энергии мы получили, когда изучали электродинамику

(63)

Выражение (63) имеет место для изотропной среды, в которой мы получили соотношение (62), 

плотность электрической энергии в этой волне равна плотности магнитной энергии. Это позволяет выразить w несколькими способами:

(64)

Умножив w на , получим плотность потока энергии: П = w =EH, что с учетом ортогональности векторов и можно записать в виде векторного произведения

(65)

Вектор называется вектором Пойнтинга. Подставим Е из (63) в (64): ,  П = w = . По определению, интенсивность такой волны равна среднему значению плотности потока энергии (и учитывая, что <cos²>=1/2), получим

(66)

Этот результат исключительно важен: интенсивность электромагнитной волны пропорциональна квадрату амплитуды вектора .

(67)

Импульс электромагнитной волны. Давление света. Пусть электромагнитная волна падает нормально на плоскую площадку S). В данном случае полезно вспомнить, что свет не только волна, но и поток фотонов, имеющих нулевую массу покоя. Согласно теории относительности импульс (который мы обозначим К, чтобы не путать с давлением) объекта с нулевой массой покоя, движущегося со скоростью света и имеющий энергию W равен . Следовательно, вместе с переносом энергии в том же направлении переносится и импульс. Разделим обе части на объем,  , где w – плотность энергии. Вычислим импульс, сообщаемый поверхности за время dt. Выделим вплотную к поверхности слой толщиной cdt,  объем выделенного слоя dV=Scdt. Все фотоны, находящиеся в dV за время dt успеют достичь поверхности и передать ей свой импульс dК: . Но по второму закону Ньютона , . Таким образом, мы получили результат: давление электромагнитной волны равно объемной плотности энергии этой волны

. (68)

На самом деле эта величина пульсирует с очень большой частотой, поэтому практический интерес представляет ее среднее значение,  р = <w>. Для идеально отражающей поверхности это давление будет в два раза больше (ср.: импульс, переданный стенке при абсолютно упругом ударе шарика в два раза больше, чем при абсолютно неупругом). Следует еще добавить, что световое давление очень мало (10^-5Па), по сравнению с атмосферным (10⁵Па).

Эффект Доплера для электромагнитных волн. Для электромагнитных волн, в отличие от звуковых, нет среды, которая бы являлась их носителем. Поэтому смещение частоты волн определяется только скоростью приемника относительно источника. Пусть в К-системе отсчета покоится приемник, и к нему со скоростью  приближается источник электромагнитных волн, с которым свяжем движущуюся систему отсчета К. Пусть в системе К сигналы испускаются с частотой ₀. Найдем частоту  , которую зафиксирует приемник. Период сигналов в системе К равен Т₀=1/₀. С точки зрения наблюдателя в системе К этот период будет больше , где =/с. Расстояние между соседними импульсами в К-системе (длина волны) . Поэтому частота, воспринимаемая приемником, будет больше (или меньше, если источник удаляется) =с/ , 

. (69)

В случае удаления источника от приемника в знаменателе следует минус заменить на плюс. С помощью эффекта Доплера в 1929 году Хаббл обнаружил космологическое красное смещение: линии в спектрах излучения внегалактических объектов оказались смещенными в сторону больших длин волн, т.е. в красную часть спектра. Это послужило основанием для доказательства удаления внегалактических объектов от нашей Галактики со скоростями, пропорциональными расстоянию до них.