Исследование Напряженных состояний

Через любую точку тела можно провести бесчисленное множество площадок. При нагружении тела на этих площадках возникают в общем случае как нормальные так и касательные напряжения.

Среди бесчисленного множества площадок имеются такие три взаимноперпендикулярные, на котроых касательные напряжения отсутствуют т.е. =0. Эти площадки являются главными, а возникающие на них нормальные напряжения – главными напряжениями.

₁ >=₂>=₃;

При плоском напряженном состоянии одно из трех главных напряжений равно нулю.

Сжимающее напряжение считается отрицательным, растягивающее положительным.

Индексация главных напряжений производится с учетом знаков.

П р и м е р. Пусть условие задачи задано рисунками а и в . Необходимо записать это условие аналитически.

Ответ.

а) ₁ =50 Па, ₂=0 Па, ₃=-100Па;

в) ₁ =0 Па, ₂=-800 Па, ₃=-900Па;

Различают две задачи исследования плоского напряженного состояния – прямую и обратную.

В прямой задаче заданы

• главные напряжения и

• угол  наклона площадки, по которой необходимо найти нормальные и касательные напряжения.

Угол  отсчитывается от наибольшего (алгебраически) главного напряжениядо внешней нормали к площадке. Это можно проиллюстрировать следующими рисунками:

Угол  считается положительным в том случае, когда отсчёт ведётсяот наибольшего (алгебраически) главного напряжения до внешней нормали к искомой площадке против хода часовой стрелки.

Для решения прямой задачи исследования плоского напряженного состояния применяются следующие формулы:

В обратной задаче заданы

напряжения по двум произвольным взаимно перпендикулярным площадкам (по закону парности касательных напряжений)  и , _, _.

Необходимо найти величину и направление главных напряжений.

Решается эта задача по формулам:

Напрявление главных напряжений определяется так же, как и в прямой задаче, но отсчёт угла  ведётся не от главного напряжения (ведь оно ещё неизестно), а от нормали к  –площадке, т.е. от _,.

Поэтому положительным будет направление по ходу часовой стрелки.

П р и м е ч а н и е . Приведённые формулы даны для главных напряжений ₁ и ₂. Если заданы другие главные напряжения, то в формулах меняются лишь индексы. Например:

Условие прочности при сложном напряжённом состоянии записывается в виде

_ЭКВ =< []

где _ЭКВ эквивалентное напряжение, вычисляемое по одной из теорий прочности:

_{ЭКВ 1}=₁

_{ЭКВ 2}=₁ (₂ +₃)

_{ЭКВ 3}=₁ - ₃

ПРИМ. В некоторых источниках коэфф. Пуассона - v ('=-v) обозначают .

Деформации определяются по обобщённому закону Гука:

Если необходимо найти деформацию по какому-либо направлению в случае плоского напряжённого состояния, то необходимо воспользоваться формулой

Величина _ находится из равенства

_+_=_max+_min ,

З а д а ч а 8. Определить аналитически и графически нормальные и касательные напряжения по указанному наклонному сечению в элементе, по граням которого известны нормальные и касательные напряжения ( рис. 13, а ).

Рис. 13

Р е ш е н и е. По граням элемента известны нормальные _ и касательные _ напряжения. Следовательно, _= 30 МПа; _=20МПа; _= - 30 МПа; _=-20 МПа.

Используя эти данные решим обратную задачу исследования напряжённого состояния и найдём величину и направление главных напряжений:

=

=0.5(30-30+-((30+30)²+420²)^0.5=+-36МПа.

По величине ^max_min проставляем индексы главных напряжений:

₁= 36 МПа; ₂ =0; ₃= -36 Мпа.

Угол наклона главной площадки найдём по формуле

=20/(30+36)=0.303

Откуда = 17. Проведём вектор ₁ под углом в 17 по отношению к ветору _ и перпендикулярно ему – главную площадку ( рис. 13, б ).

Графически эта часть задачи решается так: на плоскости ,  в масштабе отложим значения _ и _ ( точка D_, рис.14 ) затем значения _ и _ ( точка D_, рис.14 ). Отрезок D_ D_ пересечёт ось  в точке С. Это и будет центр круга Мора.

Отрезок СА =₁, а СВ = ₃ . направление ₁ получим, проведя луч из точки В через точку D_^/.

В задаче требуется найти нормальные и касательные напряжения по площадке, зафиксированной наклонным сечением под углом 43⁰ по отношению к – площадке. Проведём нормаль к искомой площадке D_^/ ( рис. 13, в ) и найдем угол ^/ между ₁ и нормалью n₀^/.

Как видно из рисунка, ^/=17 +43=60⁰,

Решим прямую задачу исследования плоского напряжённого состояния:

=36cos²60 –36sin²60=-18МПа

=(36+36)/2 sin(260)=31.2МПа

Векторы и указаны на рис. 13, б.

Графически заключительная часть задачи решается достаточно просто: из точки В ( рис. 14 ) проводят луч под углом ^/=60⁰ до пересечения с кругом в точке D_^/. Координаты этой точки являются искомыми напряжениями.

Рис. 14