- •Общие организационно-методичвские указания
- •Эпюры внутренних усилий при растяжении-сжатии, кручении и изгибе
- •Рассмотрим примеры построения эпюр всф.
- •Геометрические характеристики плоских сечений.
- •Сопротивление материалов_ Практические занятия.
- •Работа №1 На тему "Построение эпюр поперечных сил q и изгибающих моментов м"
- •Работа №2 На тему "Расчет на прочность при растяжении и сжатии стержня"
- •Исследование Напряженных состояний
- •Работа №3 На тему "Напряженное состояние"
- •Для сплошного сечения
- •Определим напряжение в точке а сечения 1-1 .
- •Определение премещений при растяжении-сжатии, кручении и изгибе.
- •Статически неопределимые системы.
- •Расчёты на прочность при сложном нагружении брусьев
- •Примеры решения задач
- •Устойчивость сжатых стержней.
- •Условие применимости формулы Эйлера
- •Находим площадь поперечного сечения
- •Самостоятельная работа 4 на тему "Кручение"
- •Работа №5 На тему "Нормальные напряжения при изгибе"
- •Работа №6 На тему "Определение деформаций при изгибе"
- •Работа №7 На тему "Статически неопределимые системы"
- •Работа №8 На тему "Статически неопределимые балки. Общий метод расчета статически неопределимых систем"
- •Работа №9 На тему "Сложное сопротивление "
- •Работа №10 На тему "Устойчивость сжатых стержней "
Устойчивость сжатых стержней.
На практике часто приходится решать задачу устойчивости сжатых стержней. Если стержень сжимать силами, действующими по оси, то он будет укорачиваться, сохраняя свою прямолинейную форму. При некоторых условиях прямолинейная форма равновесия может оказаться неустойчивой, а стержень начнет выпучиваться, искривляться. Это явление называется продольным изгибом, наступает оно тем скорее, чем больше длина стержня по сравнению с его поперечными размерами.
Конструкция должна удовлетворять не только условиям прочности и жесткости, но и условиям устойчивости. Следовательно, кроме расчета на прочность и жесткоеть в ряде случаев необходим расчет на устойчивость.
При расчете на устойчивость следует знать то наименьшее значение внешней нагрузки, при котором становятся возможными несколько различных форм равновесия. Такая нагрузка называется критической.
Пока нагрузка меньше критической, возможна лишь одна устойчивая форма равновесия. При решении задач на определение критических сил используют различные критерии потери устойчивости.
Суть первого критерия устойчивости заключается в том, что наряду с начальным состоянием равновесия возникают новые соседние равновесные формы. Такой подход к решению задач называют статическим.
Ко второму критерию устойчивости относят энергетический метод. Суть этого критерия заключается в следующем: если энергия деформации окажется больше работы внешних сил, то очевидно, что система будет устойчива; если энергия деформации окажется меньше работы внешних сил, система будет неустойчива; при безразличном равновесии (в линейной постановке задачи) приращение энергии деформации должно быть равно работе внешних вид.
Третий критерий устойчивости состоит в исследовании движения системы, вызываемого некоторыми малыми возмущениями начального равновесного состояния. Такой критерий называют динамическим.
Критическая сила при потере устойчивости в упругой стадии вычисляется по формуле Эйлера
где Jmin- минимальный момент инерции поперечного сечения стержня;
- коэффициент приведения длины (см. табл. I).
Коэффициент приведения длины зависит от характера
-
связей (линейные, угловые, абсолютно жесткие или упругие), наложенные на торцовые и промежуточные сечения стержня;
-
нагружения стержня внешними силами (сосредоточенные, распределенные);
-
изменения сечения с чэжня по его длине (постоянное, ступенчатое, непрерывно переменное).
Допускаемая величина сжимающей силы
где [Ку] - допускаемый коэффициент запаса устойчивости, принимаемый:
для сталей -1,8 ..3,0 (меньшее значение для стоек с большей жесткостью)
для чугуна -[Ку] = 5..5,5
для дерева -[Ку] = 3...3.2. .
Напряжения, возникавшие ч поперечном сечении стержня при Р = Ркр , называется критическими: -
где - гибкость стержня,
минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня.
Условие применимости формулы Эйлера
Обычно условие применимости формулы Эйлера выражает чэрез гибкость стержня:
пред
где
Значения пред для различных материалов приведены в табл. 2.
Если потеря устойчивости наступает в пластической стадии (формула Эйлера неприменима) то критическое напряжение вычисляют по эмпирической формуле Ясинского
где а,b,C - опытные коэффициенты, зависящие от материала и имеющие размерность напряжения (табл. 2),
Таблица I
|
2 |
0.7 |
0.5 |
1 |
0.7 |
|
Таблица 2
Материал |
Гибкость |
Коэффициент МПа |
|||
0 |
пред, |
а |
В |
с |
|
Сталь Ст. 3 |
60 |
100 |
310 |
I,I4 |
0 |
Сталь Ст. 5 |
55 |
90 |
464 |
3,62 |
0 |
Д 16 Т |
30 |
60 |
400 |
3,33 |
0 |
Дерево |
|
75 |
29,3 |
0,194 |
0 |
Чугун СЧ |
|
80 |
776 |
12 |
0,053 |
Условия применимости формулы Ясинского через гибкость стержня и напряжения:
0<=<=пред,
ПЦ <= KP <= T
где 0 - значение гибкости, при котором критическое, напряжение равно пределу текучести материала стержняя (табл. 2),
При гибкости, меньшей 0, критическое напряжение принимают постоянным и равным пределу текучести.
Допускаемое напряжение на устойчивость [у] определяеися через допускаемое напряжение на простое сжатие [] и коэффициент понижения напряжения :
откуда
где 0 - опасное напряжение, равняв пределу текучести для пластичных материалов (В- для хрупких материалов) ;
К0- основной коэффициент запаса прочности.
Так как К< 0 и K0<KУ то всегда меньше единицы (значения приведены в любом сборнике задач по "Сопротивлению материалов").
Условие устойчивости сжатого стержня
Задача 15. Определить допускаемую нагрузку на стержни I и 2, если требуемый коэффициент запаса устойчивости [Ку]=3.
Материал стержней: сталь Ст.3, Е = 2,1105 МПа. Сечение стержня двутавр №16.
Решение. Определяем гибкость стержней I и 2:
=21.5/1.710-2=176
=0.71.5/1.710-2=62
Если 1>(пред= 100), то критическую силу для первого стержня вычисляем по формуле Эйлера:
=(3.1422.1101158.610-8)/(21.5)2=134.9кН
Если (C= 60)<2<(пред= 100), то критическую силу для второго стержня вычисляем по формуле Ясинского:
P2KP=FКP =F(a-b)=20.210-4(310-1.1460)106=488 кН.
Допускаемая нагрузка
=134.9/3=45кН
=488/3=162.7кН
Задача 16. Определить требуемый номер профиля двутавровой стойки, оба конца которой жестко защемлены. Сжимающая нагрузка Р = 20 т, высота стойки 3 м. Материал стойки: сталь Ст.З, Е = 2106 кг/см2.
Решение. Условие устойчивости сжатого стержня
Площадь поперечногo сечения
Подбор сечений сжатых стержней производится путем последовательного приближения.
Первоначально зададимся 1= 0,5.