5. Частные производные

Пусть функция определена в окрестности точки .

Определение. Частной производной функции в точке по переменной называется предел отношения частного приращения в этой точке к вызвавшему его приращению переменной при .

Обозначения частной производной:

Итак, согласно определению,

.

Аналогично

.

Таким же образом определяются частные производные для функции большего числа переменных. Например, для функции :

.

При вычислении частной производной по переменной все остальные независимые переменные считают постоянными величинами (равными соответствующим координатам точки ), и применяют правила дифференцирования функции одной переменной [4].

Примеры. 1. .

(производная второго слагаемого равна нулю как производная константы);

.

2. .

.

3. . Частная производная по переменной является производной степенной функции с фиксированным показателем ; поэтому . Частная производная по переменной является производной показательной функции с фиксированным основанием ; поэтому .

4. . По правилу дифференцирования сложной функции:

;

.

5. .

.

6. .

.

Геометрический смысл частных производных

Частная производная функции по переменной

в точке является обычной производной функции в точке .

График функции , сдвинутый из координатной плоскости вдоль оси , является линией пересечения поверхности с плоскостью , параллельной координатной плоскости (рис. 8). Поэтому частная производная равна тангенсу угла наклона касательной к оси ; при этом точка является проекцией точки на плоскость .

6. Дифференцируемость функции нескольких переменных

I. Понятие дифференцируемости

Напомним, что для функции одной переменной дифференцируемость в точке по определению означает существование конечного предела

.

Необходимым и достаточным условием для этого является возможность представления приращения в точке в виде:

, (1)

где является бесконечно-малой величиной; при этом является, как функция переменной , бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем [4].

В случае функции нескольких переменных в основу понятия дифференцируемости кладется условие, аналогичное (1).

Итак, пусть функция определена в окрестности точки .

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке , как функция аргументов и , представимо в виде:

, (2)

где функция является при бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем (рис. 9).

В этом случае выражение , являющееся линейной функцией аргументов и , называется полным дифференциалом функции в точке .

З

амечание. Из дифференцируемости функции в точке следует ее непрерывность в этой точке, поскольку из (2) следует: .

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то коэффициенты и в формуле (2) равны значениям соответствующих частных производных в этой точке:

.

Доказательство. Положим в формуле (2) и устремим к нулю. При этом становится частным приращением , и (2) принимает вид:

,

откуда

, (3)

причем

,

так что в соответствии с условием на  и ввиду ограниченности величины :

Переходя в равенстве к пределу при , получаем: .

Аналогично устанавливается равенство . ▄

Таким образом, полный дифференциал имеет вид:

.

Из формулы (2) следует, что при малых по модулю и имеет место приближенное равенство полного приращения и полного дифференциала, которые отличаются на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем и .