0

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО

ТРАНСПОРТА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ВОДНЫХ КОММУНИКАЦИЙ

————————————————————————————————

Ястребов М.Ю.

МАТЕМАТИКА

َФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

Санкт-Петербург

2006

УДК

ББК

Рецензент:

Кандидат физико-математических наук, доцент

Кузнецов В.О.

Ястребов М.Ю. Математика. Функции нескольких переменных. — Учебное пособие: СПб: СПГУВК, 2006 — 48 С.

Учебное пособие предназначено для студентов первого курса экономических и технических специальностей. Оно соответствует рабочей программе дисциплины «Математика» и может быть использовано как при подготовке к экзамену, так и для текущих учебных занятий.

УДК

ББК

© Санкт-Петербургский государственный

Университет водных коммуникаций, 2006

1. Понятие функции нескольких переменных

I. Понятие окрестности

Н

а числовой оси -окрестностью точки называется совокупность точек , удаленных от меньше чем на : . Эта окрестность является интервалом (рис. 1).

Также и на плоскости -окрестностью точки называется совокупность точек , удаленных от меньше чем на :

.

Э

та окрестность является открытым кругом (без граничной окружности, так как неравенство строгое) радиуса с центром в точке (рис. 2).

Аналогично в пространстве -окрестностью точки называется совокупность точек , для которых

.

Эта окрестность является открытым шаром (без граничной сферы) радиуса с центром в точке (рис. 3).

Р

ис. 3

Рис. 3

II. Понятие области

Определение. Областью на плоскости называется множество точек , которое удовлетворяет двум условиям:

1. Множество является «цельным», состоящим «из одного куска» (связным) в том смысле, что любые две точки из можно соединить линией, целиком лежащей в .

2. Множество является открытым: для любой точки некоторая ее окрестность целиком содержится в .

На рис. 4 и 5 изображены примеры двумерных и трехмерных областей.

III. Определение функции

Определение. В области плоскости задана функция двух переменных если каждой точке ставится в соответствие по некоторому правилу единственное число . В этом случае называется областью определения функции .

В этом случае пишут также  — функция переменной точки области .

Примеры. 1. . Здесь областью определения является вся плоскость .

2. . Здесь областью определения является плоскость с выколотой прямой .

Р ис. 4 Рис. 5

3. . Здесь областью определения является открытый круг радиуса с центром в начале координат.

Аналогично определяется функция трех или более переменных в области пространства трех или более измерений.

Примеры. 1. . 2. .

Определение. Графиком функции двух переменных является поверхность в пространстве , состоящая из всех точек пространства , где .

Проекцией поверхности на плоскость является область определения функции (рис. 6).

Р

ис. 6

2. Предел функции нескольких переменных

Пусть точка является для области определения функции внутренней или граничной, так что в любой ее окрестности (то есть сколь угодно близко от нее) содержатся точки области .

Определение. Число называется пределом функции в точке (говорят также: при или при ), если для любого (сколь угодно малого) существует , такое что при выполнении условий справедливо неравенство .

Обозначения:

; ; ;

.

Аналогично определяется предел функции трех или более переменных.

Замечания. 1. Геометрически утверждение о том, что , означает, что значения функции сколь угодно близко приближаются к числу , если точка , оставаясь в области определения , достаточно близко подходит к точке .

2. Предел функции нескольких переменных обладает cвойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной [1]. Мы будем использовать их по мере необходимости.

3. Приращения функции нескольких переменных

Пусть ― фиксированная точка области определения функции , а приращения независимых переменных и не выводят переменные точки

,

за пределы (рис. 7).

О

пределение. 1. Полным приращением функции в точке называется разность

.

Для фиксированной точки полное приращение является функцией переменных , которая определена при всех достаточно малых по модулю .

2. Частным приращением функции в точке по переменной называется разность

.

Для фиксированной точки частное приращение является функцией переменной , которая определена при всех достаточно малых по модулю .

Аналогично частным приращением функции в точке по переменной называется разность

.

Для фиксированной точки частное приращение является функцией переменной , которая определена при всех достаточно малых по модулю .

Пример. Рассмотрим функцию . Ее полное приращение

Частные приращения:

Если , то в точке :

; ; .

Аналогично определяются полное и частные приращения функции большего числа переменных. Например, для функции :

;

;

;

.

4. Непрерывность функции нескольких переменных

Пусть функция нескольких переменных задана в области , точка принадлежит .

Определение. Функция непрерывна в точке , если ее предел в этой точке равен значению функции в самой точке:

.

Это означает, что близким к точкам соответствуют близкие к значения функции .

Определение. Функция непрерывна в области , если она непрерывна в каждой точке этой области.

Для функции двух переменных это геометрически означает, что поверхность графика функции не имеет скачков, разрывов, является непрерывной в интуитивном смысле.

Аналогично определяется непрерывность в точке и области для функции большего числа переменных.

Теорема (критерий непрерывности в терминах приращений). Для того, чтобы функция была непрерывна в точке , необходимо и достаточно, чтобы бесконечно малым (стремящимся к нулю) приращениям независимых переменных и соответствовало бесконечно малое приращение функции: .

Доказательство. По свойствам предела:

. ▄