4.3. Образец решения контрольной работы № 4.

Задание 1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 0.

Решение. Общее решение будем искать методом Бернулли: , где , – две новые неизвестные функции, тогда . Подставляя в исходное уравнение, получаем или . Подберем функцию v так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, тогда получим Найдем частное решение уравнения (I) при С₁ = 0, которое является ДУ с разделяющимися переменными. Для этого в этом уравнении разделим переменные x и y: или . Проинтегрировав обе части, получим или (при С₁= 0) или – частное решение уравнения (I). Подставляя полученную функцию v в уравнение (II), получаем тоже ДУ с разделяющимися переменными: , для которого найдем его общее решение. Разделяем переменные: или . Интегрируем обе части: или – общее решение уравнения . Таким образом – общее решение исходного уравнения.

Для нахождения частного решения исходного уравнения, удовлетворяющего начальному условию y(0) = 0 подставим в найденное общее решение x = 0 и y = 0 и найдем постоянную С: или , т. е. С = –1. Таким образом, – частное решение исходного уравнения при y(0) = 0.

Ответ:  – общее решение; – частное решение.

Задание 2. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(x₀) = y₀ и

1) , y(0) = –1, ;

2) , y(0) = 1, ;

3) , y(0) = 2, .

Решение. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида будем искать в виде , где – общее решение соответствующего линейного однородного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами, а – некоторое частное решение исходного уравнения.

1) Найдем общее решение соответствующего линейного однородного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами . Характеристическое уравнение имеет два равных корня , значит .

Найдем частное решение исходного уравнения. В нем правая часть есть формула вида , причем n = 1 и  = 0 – не корень характеристического уравнения. Поэтому частное решение , где А и В – неопределенные коэффициенты. Тогда и . Подставив , , в исходное уравнение, получим –2А + Ax + B = x – 4 или Ax + (–2А + B) = x – 4. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений Отсюда A = 1, B = –2. Поэтому частное решение исходного уравнения имеет вид . Следовательно, – общее решение исходного уравнения.

Для нахождения частного решения исходного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям y(0) = –1, найдем . Подставим начальные условия в найденное общее решение и его производную, получим систему или Отсюда С₁ = С₂ = 1. Таким образом, искомое частное решение имеет вид: .

2) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Составим характеристическое уравнение , дискриминант , имеет два комплексных корня , . Следовательно, .

Найдем частное решение исходного уравнения. Его правая часть есть формула вида , причем n = m = 0,  = 0,  = 3. Так как числа – не корни характеристического уравнения (r = 0), то частное решение имеет вид: , где А и В – неопределенные коэффициенты, . Найдем и . Подставив , , в исходное уравнение, получим или . Приравнивая коэффициенты при синусе и косинусе в обеих частях, получаем систему уравнений Отсюда A = 1, B = –3. Поэтому частное решение исходного уравнения имеет вид . Следовательно, – общее решение исходного уравнения.

Для нахождения частного решения исходного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям y(0) = 1, вычислим . Подставляя начальные условия в найденное общее решение и его производную, получим систему или Следовательно, С₁ = 0, С₂ = 3. Таким образом, – искомое частное решение.

3) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет два различных корня и , значит .

Найдем частное решение исходного уравнения. В нем правая часть есть формула вида , причем n = 0, а  = 1 – корень характеристического уравнения кратности 1 (r = 1). Поэтому частное решение , где А – неопределенный коэффициент. Тогда и . Подставим , , в исходное уравнение и получим . Сократив оби части равенства на и приведя подобные, получим . Поэтому частное решение исходного уравнения имеет вид . Следовательно, – общее решение исходного уравнения.

Для нахождения частного решения исходного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям y(0) = 2, сначала найдем . Подставим начальные условия в найденное общее решение и его производную, получим систему или Отсюда С₁ = С₂ = 1. Итак, частное решение исходного уравнения имеет вид .

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

Задание 3. Написать три первых члена степенного ряда , найти его область абсолютной сходимости.

Решение. Запишем три первых члена ряда. При n = 1 получаем первый член ряда: , при n = 2 – второй член: и при n = 3 – третий член ряда: .

Для данного ряда имеем а = –2, , . Найдем радиус сходимости . Тогда интервал абсолютной сходимости ряда по формуле (a – R; a + R) есть (–4; 0).

Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходимости. При x = –4 получаем числовой знакочередующийся ряд , который сходится согласно признаку Лейбница, т. к. выполняются оба условия признака: 1)  и 2) члены ряда убывают по абсолютной величине При x = 0 имеем числовой знакоположительный ряд . Это гармонический ряд, который расходится. Таким образом, область абсолютной сходимости исходного ряда имеет вид [–4; 0).

Ответ: , , ; [–4; 0).

Задание 4. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

Решение. Для разложения подынтегральной функции в степенной ряд воспользуемся формулой таблицы основных разложений. Заменив в ней x на x², получим:

для любого . Так как отрезок интегрирования [0; 0,5] целиком содержится внутри области сходимости ряда, то на основании свойства о почленном интегрировании степенных рядов получим

Получили числовой знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница: 1) члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине: и 2) предел его общего члена при равен нулю: . Так как |a₂| = 0,000372 < 0,001, то приближенное значение суммы S полученного ряда будет равно: S  S₁ = a₁, так как по следствию из признака Лейбница погрешность вычисления r₂ = |S – S₁| < |a₂| < 0,001.

Таким образом, .

Ответ:  0,042.