4.1. Контрольная работа № 4. «Дифференциальные уравнения. Ряды».

1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀.

1. , . 2. , .

3. , y(0) = 5. 4. , y(–2) = 5.

5. , y(0) = 2. 6. , y(1) = e.

7. , y(3) = 1. 8. , y(0) = 2.

9. , y(1) = 0. 10. , y(0) = 3.

2. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(x₀) = y₀ и

1. , y(0) = –2, .

2. , y(0) = 3, .

3. , y(0) = –3, .

4. , y(0) = –1, .

5. , y(0) = 1, .

6. , y(0) = 2, .

7. , y(0) = 2, .

8. , y(0) = 3, .

9. , y(0) = 0, .

10. , y(0) = 0, .

3. Написать три первых члена степенного ряда, найти его область абсолютной сходимости.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. .

4. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. .

4.2. Основные теоретические сведения.

1. Дифференциальные уравнения

1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка, называется дифференциальным уравнением.

2. Натуральное число n, являющееся порядком старшей производной, называется порядком дифференциального уравнения.

3. Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида или в дифференциалах . Если эти равенства можно разрешить относительно производной, то их записывают в виде или .

4. Решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция y = (x), имеющая непрерывную производную на некотором интервале (a; b) и обращающая уравнение в верное числовое равенство.

5. Задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка: требуется найти решение y = (x) уравнения, удовлетворяющее начальному условию y = y₀ при x = x₀.

6. Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция y = (x; С), содержащая произвольную постоянную С и удовлетворяющая условиям: 1) при любых начальных условиях (x₀; y₀) уравнение y₀ = (x₀; С) должно быть разрешимо относительно С так, что С = (x₀; y₀); 2) при всех значениях постоянной С = (x₀; y₀) функция y = (x; (x₀; y₀)) должна удовлетворять дифференциальному уравнению.

7. Всякое решение, получаемое из общего при фиксированном значении постоянной С называется частным решением дифференциального уравнения.

8. Уравнение вида или называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Приводятся к виду или путем разделения переменных x и y и затем почленно интегрируются.

9. Уравнение вида называется однородным дифференциальным уравнением. Используется замена: или , где – новая неизвестная функция, тогда . Сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными относительно новой функции, для которого находят общее решение. Записывают общее решение исходного уравнения по формуле .

10. Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением. Используется метод Бернулли: , где , – новые неизвестные функции, тогда . Получаем: или . Подберем функцию v так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, тогда получаем Первое уравнение – ДУ с разделяющимися переменными, находим его частное решение при С = 0. Найденное частное решение подставляем во второе уравнение, являющееся тоже ДУ с разделяющимися переменными и находим его общее решение. Записываем общее решение исходного уравнения по формуле .

11. Уравнение вида , где называется дифференциальным уравнением Бернулли. Используется метод Бернулли: .

12. Дифференциальным уравнением 2-го порядка называется уравнение вида . Если уравнение можно разрешить относительно , то его записывают в виде .

13. Решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется функция y = (x), имеющая непрерывные производные , на некотором интервале (a; b) и обращающая уравнение в верное числовое равенство.

14. Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка: требуется найти решение y = (x) уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = y₀, при x = x₀.

15. Общим решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется функция y = (x; С₁; С₂), содержащая две произвольные постоянные С₁, С₂ и удовлетворяющая условиям: 1) при любых начальных условиях система уравнений должна быть разрешима относительно постоянных С₁, С₂ так, что 2) при всех значениях этих постоянных С₁, С₂ функция y = (x; C₁; C₂) обращает дифференциальное уравнение в верное числовое равенство.

16. Всякое решение, получаемое из общего при фиксированных значениях постоянных С₁, С₂ называется частным решением дифференциального уравнения.

17. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка:

а)  решается повторным интегрированием.

б) , явно не содержащее искомой функции . Используется замена: , где – новая неизвестная функция, тогда . Для нового уравнения относительно функции p находим общее решение и подставляем его в формулу . Получаем ДУ с разделяющимися переменными относительно функции y, находим его общее решение.

в) , явно не содержащее независимой переменной . Замена: , где , тогда . Для нового уравнения относительно функции p находим общее решение и подставляем его в формулу . Получаем ДУ с разделяющимися переменными относительно функции y, находим его общее решение.

18. Линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида . Составляется характеристическое уравнение .

Если , то и общее решение исходного уравнения имеет вид: .

Если , то и .

Если , то и .

19. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида называется уравнение вида . Его общее решение ищется в виде , где – общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами: , а – какое-либо частное решение исходного уравнения.

Если , где  – некоторое число, P_n(x) – многочлен степени n, то , где – многочлен степени с неопределенными коэффициентами, – число, равное кратности  как корня характеристического уравнения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами .

Если , где ,  – некоторые числа, P_n(x), Q_m(x) – многочлены степени n и m соответственно, то , где – многочлены степени с неопределенными коэффициентами, , – число, равное кратности как корня характеристического уравнения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами .