2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1. Производной функции в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в точке x₀ к приращению аргумента x, когда , т. е. .

Таблица производных

2. . 3. .

4. . 5. .

6. . 7. .

8. . 9. .

10. . 11. .

12. . 13. .

14. . 15. .

16. .

Основные правила дифференцирования

17. . 18. .

19. . 20. .

21. .

Геометрический смысл производной

22. Производная от функции в точке равна угловому коэффициенту (т. е. тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в точке (рис. 7). Уравнение касательной: . Уравнение нормали:

Рис. 7

Механический смысл производной

23. Производная от функции в точке численно равна скорости изменения функции в момент .

24. Если функция задана параметрически уравнениями то производная вычисляется по формуле: . Вторая производная находится по формуле: .

25. Если функция задана неявно уравнением , то для нахождения ее производной дифференцируют обе части этого уравнения, считая сложной функцией от и полученное уравнение разрешают относительно .

Применение производной

26. Если на некотором промежутке , то на этом промежутке функция возрастает; если , то функция убывает.

27. Если функция непрерывна в точке и в левой ее окрестности , а в правой , то в точке функция имеет максимум; если в левой окрестности , а в правой , то в точке функция имеет минимум.

28. Если на некотором промежутке , то на этом промежутке функция вогнута; если , то функция выпукла.

29. Если функция непрерывна в точке и при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точка – точка перегиба.

30. Для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке нужно:

а) найти критические точки – точки, в которых производная функции , не существует или равна бесконечности;

б) найти значения функции в критических точках, принадлежащие отрезку и на концах отрезка;

в) выбрать среди полученных чисел наибольшее или наименьшее.

31. Для исследования функции и построения ее графика пользуются следующей схемой:

а) определяется область определения функции, находятся точки разрыва, определяется их характер, находятся вертикальные асимптоты, если они есть;

б) проверяется четность, нечетность, периодичность графика, поведение его при (или на границах области определения, если она ограничена); определяется наличие невертикальных асимптот вида , для чего числа k и b находятся по формулам: , , если оба эти предела существуют и конечны;

в) находится производная , определяются интервалы возрастания , убывания и критические точки ( или не существует) функции, находятся экстремумы;

г) находится вторая производная , определяются интервалы выпуклости вверх , выпуклости вниз и точки перегиба графика;

д) если необходимо, находятся дополнительные точки.

Сведя всю полученную информацию в таблицу, строят график функции .

3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Явное задание функции

1. Если , а и , то . В частности, если , а совпадает с одним из аргументов, например, , то .

2. Если , а и , то и . Структура этих формул сохраняется и при большем числе переменных.