Контрольні питання

1. Які графи можна назвати мережами?

2. Як формулюються задачі про максимальний потік у мережі?

3. Що розуміють gід розрізом мережі?

4. Як пов’язані між собою мінімальний розріз мережі і максимальний потік в ній?

5. Яким є метод Форда-Фалкерсона для побудови максимального потоку мережі?

Лабораторна робота № 6 Визначення найкоротшого шляху в графі

Мета роботи: визначити найкоротший маршрут в графі, використовуючи алгоритм Дейкстри.

3. Теоретичні відомості.

Алгоритм, що розглядається, визначає відстані між вершинами в простому орграфі з невід’ємними вагами. До таких орграфів зводиться велика кількість типів графів. Якщо граф не є простим, то його можна звести до такого, відкидаючи всі петлі і замінюючи кожну множину паралельних ребер тнайкоротшим ребром (ребром з найменшою вагою) з цієї множини, кожне неорієнтоване ребро замінюється парою орієнтованих ребер. Якщо граф не є зваженим, то можна вважати, що всі ребра мають однакову вагу.

Нехай G=(X, U, F) – простий орграф, для кожного ребра якого визначена вага . Знайдемо найкоротший шлях між вершинами x₀ і z (мал.1).

 z

10

2

x₁ x₄

 

5 6

7

3 8 1 3 5 3

   

x₀ 2 x₂ 5 x₃ 7 x₅

Мал.. 1. Простий зважений орграф

Неіснуючі ребра будемо вважати ребра з нескінченними вагами. Суму вагів ребер шляху будемо називати вагою або довжиною шляху. Позначимо w_ij = w(u) – вага ребра u=(x_i, x_j). Алгоритм пошуку найкоротшого шляху, починаючи з вершини x₀, розглядає граф у ширину, помічаючи вершини x_j значеннями-мітками їх відстаней від x₀. Мітки можуть бути тимчасовими і остаточними. Тимчасова мітка вершини x_j – це мінімальна відстань від x₀ до x_j, коли у визначені шляху на графі враховуються не всі маршрути від x₀ до x_j. Остаточна мітка x_j- це мінімальна відстань на графі від x₀ до x_j. Таким чином, в кожний момент часу роботи алгоритму деякі вершини будуть мати остаточні мітки, а інша їх частина – тимчасові. Алгоритм закінчується тоді, коли вершина z отримає остаточну мітку , тобто відстань від x₀ до z.

Спочатку вершині x₀ присвоюється значення 0 (нульова відстань до самої себе), а кожній з інших |X|-1 вершині присвоюється тимчасова мітка  (нескінченність). На кожному кроці одній вершині з тимчасовою міткою присвоюється остаточна і пошук продовжується далі. На кожному кроці мітки змінюються таким чином.

1. Кожній вершині x_j., яка не має остаточної мітки, присвоюється нова тимчасова мітка – найменша з її тимчасової мітки і числа (w_ij + остаточна мітка x_і ), де x_і – вершина, якій присвоєна остаточна мітка на попередньому кроці.

2. Визначається найменша з усіх тимчасових міток, яка і стає остаточною міткою своєї вершини. У випадку рівності міток вибирається довільна з них.

Циклічний процес п.1+п.2 продовжується до тих пір, поки вершина z не отримає остаточну мітку. Легко бачити, що остаточна мітка кожної вершини– це найкоротша відстань від цієї вершини до вершини x₀.

Розглянемо приклад пошуку найкоротшого шляху на графі, представленому на мал.1. Процес визначення міток вершин графа на кожному кроці зручно представляти у вигляді таблиці.

	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6
0	0	∞	∞	∞	∞	∞	∞
1		7	2	∞	∞	∞	∞
2		5		7	∞	∞	∞
3				6	10	∞	15
4					9	13	15
5						12	11

Зауважимо, що виділені клітинки – це остаточні мітки відповідних вершин, тобто відстані від них до вершини x₀. ЗА такою таблицею легко відтворити шлях переміщення від z до x₀ .

Реалізація розглянутого алгоритму пошуку найкоротшого шляху представлена алгоритмом, в якому граф G=(X, U, F) представлений матрицею вагових коефіцієнтів We=[ w_ij], вага неіснуючого ребра позначається як +. Вектор Mark[x] міток вершин встановлює належність вершині xX остаточної (TRUE) або тимчасової (FALSE) мітки. Вектор Dist[x] в алгоритмі фіксує поточні значення міток вершин. Вектор Prev[x] дозволяє відновити у зворотній послідовності вершини найкоротшого шляху.

Алгоритм 1. Алгоритм найкоротшого шляху на орграфі

{Введення початкових даних}

Assign (f,’ short.in’);

Reset (f); {Файл відкритий для зчитування}

{Введеня початкових даних}

Read (f, x0) {Початкова вершина шляху}

Read (f, z) {Кінцева вершина шляху}

Read (f, nx) {Кількість вершин в графі}

nx :=nx – 1;

for i := 0 to nx do

begin

for j := 0 to nx do

begin

read (f, We [i,j]); {Введення матриці вагових коефіцієнтів}

if We [i,j] :=0 then We [i,j] :=$7fff; {нескінченність}

end;

end;

close (f);

assign (f, ‘short.in’);

rewrite (f); {Файл відкритий для запису}

for x :=0 to nx do

begin

Mark[x] := FALSE;

Dist[x] := $7fffffff;

end;

y := x₀;

Mark[x₀] := TRUE;

Dist[x₀] := 0;

while not Mark[z] do

{Поновити тимчасові мітки}

begin

for x:=0 to nx do

if not Mark[x] and Dist[x] > Dist[y]+We[y,z] then

begin

Dist[x] := Dist[y]+We[y,z];

Prev[x]:=y;

end;

{Пошук нової вершини yX з мінімальною тимчасовою міткою}

weight:= $7fffffff;

for x:=0 to nx do

if not Mark[x] then

if weight > Dist[x] then

begin

weight:= dist[x];

y:=x;

end;

Mark[y[ := TRUE;

end;

write (f, ‘Вершини найкоротшого шляху’);

x := z;

while x<>x0 do

begin

write (f, x:2);

x:= prev[x];

end;

writeln (f, x:2);

writeln (f, ‘Довжина шляху’, Dist[z]);

Початкові дані графа представлені матрицею вагоаих коефіцієнтів його ребер в текстовому файлі Short.in з такою структурою:

• в першому рядку вказується номер початкової вершини шляху x₀;

• в другому рядку вказується номер кінцевої вершини шляху z;

• в третьому рядку вказується кількість nx вершин в графі;

• в наступних nx рядках вказуються рядки матриці вагових коефіцієнтів графа.

Для даного приклада початкові дані матимуть вигляд:

0

6

7

0 7 2 0 0 0 0

0 0 0 1 5 0 10

0 3 0 5 0 0 0

0 0 0 0 3 7 0

0 0 8 0 0 5 2

0 0 0 0 1 0 6

0 0 0 0 0 0 0

Результати обчислень зберігаються в файлі Short.in з такою структурою:

Вершини шляху = 6 4 3 1 2 0

Довжина шляху = 11.