Математический анализ

Математический анализ ‑ совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций методами дифференциального (ДИ) и интегрального (ИИ) исчисления.

ДИ – раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применение к исследованию свойств функций. Производной у = f(x) называют предел отношения приращения y = y₁ – y₂ функции к соответствующему приращению х = х₁ – х₂ аргумента при х стремящемся к нулю (если этот предел существует). Производная обозначается: f ’(x) или у’, то есть:

Дифференциалом функции у = f(x) называется выражение d y = y’ dx . Вычисление производной и дифференциала называют дифференцированием. Если производная имеет, в свою очередь, производную, то ее называют 2-й производной функции f(x) и обозначают f’’(x) и т.д..

Для случая функции нескольких переменных, например y = f(x, z) то при фиксированном х можно дифференцировать у по z. Такая производная называется частной производной у по z и обозначается у/z = f’_z .

Геометрической интерпретацией производной функции одной переменной является «угловой коэффициент касательной», то есть тангенс угла (tg ) наклона касательной к кривой у = f(x) в точке М при x=х₀ и у = у₀.

В механике производная интерпретируется как скорость движения v в момент времени t при известной зависимости пути движения от времени s = f(t) , то есть v = f ʹ_t .

Теория дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение (ДУ) – уравнение связывающее искомую функцию, ее производную (или дифференциалы) и независимые переменные, например dy = 2xdx . Решением или интегралом ДУ называется функция, при подстановки которой в ДУ последнее обращается в тождество, в приведенном ДУ решением является функция вида y =  x²+C , где С произвольная постоянная.

Процесс решения ДУ называется его интегрированием. При помощи ДУ моделируются многие реальные процессы. Поэтому ДУ имеют исключительно важное значение для математического описания любых процессов (технических, естественных, социальных и т.д.).

Дискретная (конечная) математика

Дискретная математика (ДМ) – занимается изучением свойств объектов конечного характера. К их числу относятся: конечные группы (комбинаторика), конечные графы, некоторые математические модели преобразователей информации.

Теория вероятностей и случайных функций

Вероятностями называются значения некоторой действительной функции, определенной на классе идеализированных событий, которые представляют собой результаты испытания (опыта или наблюдения).

Вероятности вводятся посредством определенных аксиом, абстрагируемых из основных свойств статистических относительных частот.

Практически понятие вероятности проявляется в том, что обычно относительная частота случайного события в каждой последовательности независимых повторных испытаний приближается к соответствующей вероятности.

Теория вероятностей занимается определением и описанием моделей, связанных с понятием вероятности. В частности, здесь рассматриваются методы вычисления вероятности некоторого события по известным или заданным вероятностям других событий, которые с ним логически связаны. Многие приложения теории вероятностей относятся к области случайных процессов (функций).

Случайный процесс есть случайная функция х(t) от независимой переменной t. Каждое испытание дает определенную функцию X(t), которая называется реализацией процесса или выборочной функцией.

Случайный процесс можно рассматривать либо как совокупность реализаций процесса X(t), либо как совокупность случайных величин, зависящих от параметра t.

При этом должны быть заданы распределения вероятностей систем случайных величин x₁ = x(t₁), х₂ = x (t₂), ... (выборочных значений) для любого конечного множества значений t₁, t₂, ... (выборочных моментов). Случайный процесс дискретен или непрерывен, если дискретно или непрерывно распределение величин х(t₁), x(t₂), ... для каждого конечного множества t₁, t₂, ... Процесс называется случайной последовательностью (процессом с дискретным временем), если независимая переменная может принимать только счетное множество значений.

Более общо случайный процесс может описываться многомерной случайной величиной х (t)  [х₁ (t), х₂ (t), …. x_j (t)], ...j= 1,n.

В большинстве приложений независимой переменной t служит время, а величина х(t) означает состояние физической системы.

Примеры: результаты последовательных наблюдений, состояния динамической системы в статистической механике, сообщения и шумы в системах связи, временные ряды в экономике, изменение параметров атмосферы планеты в космонавтике (плотность, температура, давление, скорость ветра и др.).