2.3.3 Экспоненциальное сглаживание с учетом тренда и сезонных вариаций: метод Винтерса
Если в структуре данных присутствуют сезонные колебания, то для уменьшения ошибок прогнозирования применяют трехпараметрическую, линейную и сезонную модель экспоненциального сглаживания, предложенную в 1960 году Винтерсом. Этот подход является расширением метода Хольта. Для учета сезонных колебаний здесь задействуется дополнительное уравнение.
Модель Винтерса определяется следующими уравнениями:
1 Экспоненциально сглаженные ряды:
2 Оценка тренда
3 Оценка сезонности:
где
- постоянная сглаживания для оценки
сезонности.
4 Прогноз на р периодов вперед:
где
- длительность периода сезонного
колебания.
Как
и в предыдущих методах, постоянные
,
и
выбираются субъективно или путем
минимизации ошибки прогнозирования.
Метод Винтерса позволяет наиболее просто учесть в модели сезонность, если исходные данные имеют сезонную структуру. В альтернативном способе предлагается сначала исключить сезонную составляющую или, наоборот, учесть сезонность в самих данных.
3 Практическая часть
3.1 Постановка задачи
Провести анализ данных имеющих тренд и сезонную составляющую из Методических указаний к проведению лабораторной работы №2:
1 В приложении MS Excel определить прогнозное значение с использованием наивных моделей и скользящих средних.
2 В приложении Minitab for Windows провести анализ данных с помощью:
-
Скользящих средних;
-
Двойных скользящих средних;
-
Методов экспоненциального сглаживания.
3 Выбрать адекватный метод прогнозирования
3.2 Пример анализа данных с использованием ms Excel
1 Ввести данные в MS Excel (табл.1)
Таблица 1 – Исходные данные
|
год |
1997 г. |
1998 г. |
||||||
|
квартал |
1 кв. |
2 кв. |
3 кв. |
4 кв. |
1 кв. |
2 кв. |
3 кв. |
4 кв. |
|
Компания А |
100,5 |
205,5 |
258,8 |
247 |
128,8 |
282,6 |
343,6 |
364,3 |
|
год |
1999 г. |
2000 г. |
||||||
|
квартал |
1 кв. |
2 кв. |
3 кв. |
4 кв. |
1 кв. |
2 кв. |
3 кв. |
4 кв. |
|
Компания А |
219,7 |
361,1 |
424,6 |
439,7 |
224,4 |
362,6 |
371,3 |
345,9 |
|
год |
2001 г. |
2002 г. |
||||||
|
квартал |
1 кв. |
2 кв. |
3 кв. |
4 кв. |
1 кв. |
2 кв. |
3 кв. |
4 кв. |
|
Компания А |
192,7 |
269,2 |
270,7 |
253 |
161,1 |
190,4 |
241,4 |
214,7 |
|
год |
2003 г. |
2004 г. |
||||||
|
квартал |
1 кв. |
2 кв. |
3 кв. |
4 кв. |
1 кв. |
2 кв. |
3 кв. |
4 кв. |
|
Компания А |
149,2 |
219,7 |
248,5 |
271,2 |
134,3 |
230,5 |
251,4 |
242,4 |
|
год |
2005 г. |
2006 г. |
||||||
|
квартал |
1 кв. |
2 кв. |
3 кв. |
4 кв. |
1 кв. |
2 кв. |
3 кв. |
4 кв. |
|
Компания А |
146,8 |
219,5 |
274,8 |
261,5 |
198,6 |
274,8 |
285,6 |
294,2 |
|
год |
2007 г. |
|
|
|
|
|||
|
квартал |
1 кв. |
2 кв. |
3 кв. |
4 кв. |
|
|
|
|
|
Компания А |
188,1 |
241,6 |
247 |
237,4 |
|
|
|
|
2 Воспользуемся наивными моделями.
Прогноз на 1 квартал 2008 года:
а) простая модель - 237,4 тыс.грн. (значение 4 квартала 2007 года);
б) модель с учетом тренда:
-
вида
:
227,8
тыс.грн. -
вида
:
=228,2
тыс.грн.
в)
модель с учетом сезонности вида
:
188,1
тыс.грн.
3 Определим среднеквадратическую ошибку прогноза путем ввода соответствующих формул в MS Excel (Таблица 2)
Таблица 2 – Определение среднеквадратических ошибок (MSE)
|
год |
квартал |
Компания |
Прогнозные значения |
Квадрат ошибки |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1997 г. |
1 кв. |
100,5 |
Х |
Х |
Х |
Х |
Х |
Х |
Х |
Х |
|
2 кв. |
205,5 |
100,5 |
Х |
Х |
Х |
11025,0 |
Х |
Х |
Х |
|
|
3 кв. |
258,8 |
205,5 |
310,5 |
420,2 |
Х |
2840,9 |
2672,9 |
26050,4 |
Х |
|
|
4 кв. |
247 |
258,8 |
312,1 |
325,9 |
Х |
139,2 |
4238,0 |
6229,0 |
Х |
|
|
1998 г. |
1 кв. |
128,8 |
247 |
235,2 |
235,7 |
100,5 |
13971,2 |
11321,0 |
11435,7 |
800,9 |
|
2 кв. |
282,6 |
128,8 |
10,6 |
67,2 |
205,5 |
23654,4 |
73984,0 |
46412,8 |
5944,4 |
|
|
3 кв. |
343,6 |
282,6 |
436,4 |
620,1 |
258,8 |
3721,0 |
8611,8 |
76426,0 |
7191,0 |
|
|
4 кв. |
364,3 |
343,6 |
404,6 |
417,8 |
247 |
428,5 |
1624,1 |
2858,7 |
13759,3 |
|
|
1999 г. |
1 кв. |
219,7 |
364,3 |
385 |
386,2 |
128,8 |
20909,2 |
27324,1 |
27737,9 |
8262,8 |
|
2 кв. |
361,1 |
219,7 |
75,1 |
132,5 |
282,6 |
19994,0 |
81796,0 |
52260,0 |
6162,3 |
|
|
3 кв. |
424,6 |
361,1 |
502,5 |
593,5 |
343,6 |
4032,3 |
6068,4 |
28529,1 |
6561,0 |
|
|
4 кв. |
439,7 |
424,6 |
488,1 |
499,3 |
364,3 |
228,0 |
2342,6 |
3548,2 |
5685,2 |
|
|
2000 г. |
1 кв. |
224,4 |
439,7 |
454,8 |
455,3 |
219,7 |
46354,1 |
53084,2 |
53331,9 |
22,1 |
|
2 кв. |
362,6 |
224,4 |
9,1 |
114,5 |
361,1 |
19099,2 |
124962,3 |
61542,7 |
2,3 |
|
|
3 кв. |
371,3 |
362,6 |
500,8 |
585,9 |
424,6 |
75,7 |
16770,3 |
46058,5 |
2840,9 |
|
|
4 кв. |
345,9 |
371,3 |
380 |
380,2 |
439,7 |
645,2 |
1162,8 |
1177,1 |
8798,4 |
|
|
2001 г. |
1 кв. |
192,7 |
345,9 |
320,5 |
322,2 |
224,4 |
23470,2 |
16332,8 |
16780,0 |
1004,9 |
|
2 кв. |
269,2 |
192,7 |
39,5 |
107,4 |
362,6 |
5852,3 |
52762,1 |
26194,6 |
8723,6 |
|
|
3 кв. |
270,7 |
269,2 |
345,7 |
376,1 |
371,3 |
2,3 |
5625,0 |
11102,8 |
10120,4 |
|
|
4 кв. |
253 |
270,7 |
272,2 |
272,2 |
345,9 |
313,3 |
368,6 |
369,0 |
8630,4 |
|
|
2002 г. |
1 кв. |
161,1 |
253 |
235,3 |
236,5 |
192,7 |
8445,6 |
5505,6 |
5678,7 |
998,6 |
|
2 кв. |
190,4 |
161,1 |
69,2 |
102,6 |
269,2 |
858,5 |
14689,4 |
7712,0 |
6209,4 |
|
|
3 кв. |
241,4 |
190,4 |
219,7 |
225,0 |
270,7 |
2601,0 |
470,9 |
268,0 |
858,5 |
|
|
4 кв. |
214,7 |
241,4 |
292,4 |
306,1 |
253 |
712,9 |
6037,3 |
8346,8 |
1466,9 |
|
|
2003 г. |
1 кв. |
149,2 |
214,7 |
188 |
191,0 |
161,1 |
4290,3 |
1505,4 |
1743,3 |
141,6 |
|
2 кв. |
219,7 |
149,2 |
83,7 |
103,7 |
190,4 |
4970,3 |
18496,0 |
13460,1 |
858,5 |
|
|
3 кв. |
248,5 |
219,7 |
290,2 |
323,5 |
241,4 |
829,4 |
1738,9 |
5626,9 |
50,4 |
|
|
4 кв. |
271,2 |
248,5 |
277,3 |
281,1 |
214,7 |
515,3 |
37,2 |
97,5 |
3192,3 |
|
|
2004 г. |
1 кв. |
134,3 |
271,2 |
293,9 |
296,0 |
149,2 |
18741,6 |
25472,2 |
26138,4 |
222,0 |
|
2 кв. |
230,5 |
134,3 |
-2,6 |
66,5 |
219,7 |
9254,4 |
54335,6 |
26894,0 |
116,6 |
|
|
3 кв. |
251,4 |
230,5 |
326,7 |
395,6 |
248,5 |
436,8 |
5670,1 |
20796,2 |
8,4 |
|
|
4 кв. |
242,4 |
251,4 |
272,3 |
274,2 |
271,2 |
81,0 |
894,0 |
1010,9 |
829,4 |
|
|
2005 г. |
1 кв. |
146,8 |
242,4 |
233,4 |
233,7 |
134,3 |
9139,4 |
7499,6 |
7555,5 |
156,3 |
|
2 кв. |
219,5 |
146,8 |
51,2 |
88,9 |
230,5 |
5285,3 |
28324,9 |
17055,4 |
121,0 |
|
|
3 кв. |
274,8 |
219,5 |
292,2 |
328,2 |
251,4 |
3058,1 |
302,8 |
2851,9 |
547,6 |
|
|
4 кв. |
261,5 |
274,8 |
330,1 |
344,0 |
242,4 |
176,9 |
4706,0 |
6811,5 |
364,8 |
|
|
2006 г. |
1 кв. |
198,6 |
261,5 |
248,2 |
248,8 |
146,8 |
3956,4 |
2460,2 |
2524,4 |
2683,2 |
|
2 кв. |
274,8 |
198,6 |
135,7 |
150,8 |
219,5 |
5806,4 |
19348,8 |
15368,6 |
3058,1 |
|
|
3 кв. |
285,6 |
274,8 |
351 |
380,2 |
274,8 |
116,6 |
4277,2 |
8956,1 |
116,6 |
|
|
4 кв. |
294,2 |
285,6 |
296,4 |
296,8 |
261,5 |
74,0 |
4,8 |
6,9 |
1069,3 |
|
|
2007 г. |
1 кв. |
188,1 |
294,2 |
302,8 |
303,1 |
198,6 |
11257,2 |
13156,1 |
13215,6 |
110,3 |
|
2 кв. |
241,6 |
188,1 |
82 |
120,3 |
274,8 |
2862,3 |
25472,2 |
14722,5 |
1102,2 |
|
|
3 кв. |
247 |
241,6 |
295,1 |
310,3 |
285,6 |
29,2 |
2313,6 |
4009,0 |
1490,0 |
|
|
4 кв. |
237 |
247 |
252,4 |
252,5 |
294,2 |
92,2 |
225,0 |
228,6 |
3226,2 |
|
|
MSE |
6752,3 |
17476,1 |
16883,9 |
3087,7 |
||||||
Рис.1 Графики данных
Таким образом, наименьшую ошибку дает метод с учетом сезонных составляющих. Следовательно прогноз на 1 квартал составит 188 тыс.грн.
4 Определим прогнозные значения и среднеквадратическую ошибку прогноза методом скользящих средних с шагом 4 (таблица 3, рисунок 2).
Таблица 3 - Прогноз прибыли компании А с помощью скользящих средних
|
год |
квартал |
Компания А |
Прогнозные значения |
Квадрат ошибки |
|
1997 г. |
1 квартал |
100,5 |
Х |
Х |
|
2 квартал |
205,5 |
Х |
Х |
|
|
3 квартал |
258,8 |
Х |
Х |
|
|
4 квартал |
247 |
Х |
Х |
|
|
1998 г. |
1 квартал |
128,8 |
203,0 |
5498,2 |
|
2 квартал |
282,6 |
210,0 |
5267,1 |
|
|
3 квартал |
343,6 |
229,3 |
13064,5 |
|
|
4 квартал |
364,3 |
250,5 |
12950,4 |
|
|
1999 г. |
1 квартал |
219,7 |
279,8 |
3615,0 |
|
2 квартал |
361,1 |
302,6 |
3428,1 |
|
|
3 квартал |
424,6 |
322,2 |
10490,9 |
|
|
4 квартал |
439,7 |
342,4 |
9462,4 |
|
|
2000 г. |
1 квартал |
224,4 |
361,3 |
18734,8 |
|
2 квартал |
362,6 |
362,5 |
0,0 |
|
|
3 квартал |
371,3 |
362,8 |
71,8 |
|
|
4 квартал |
345,9 |
349,5 |
13,0 |
|
|
2001 г. |
1 квартал |
192,7 |
326,1 |
17782,2 |
|
2 квартал |
269,2 |
318,1 |
2393,7 |
|
|
3 квартал |
270,7 |
294,8 |
579,6 |
|
|
4 квартал |
253 |
269,6 |
276,4 |
|
|
2002 г. |
1 квартал |
161,1 |
246,4 |
7276,1 |
|
2 квартал |
190,4 |
238,5 |
2313,6 |
|
|
3 квартал |
241,4 |
218,8 |
510,8 |
|
|
4 квартал |
214,7 |
211,5 |
10,4 |
|
|
2003 г. |
1 квартал |
149,2 |
201,9 |
2777,3 |
|
2 квартал |
219,7 |
198,9 |
431,6 |
|
|
3 квартал |
248,5 |
206,3 |
1785,1 |
|
|
4 квартал |
271,2 |
208,0 |
3991,1 |
|
|
2004 г. |
1 квартал |
134,3 |
222,2 |
7717,6 |
|
2 квартал |
230,5 |
218,4 |
145,8 |
|
|
3 квартал |
251,4 |
221,1 |
916,6 |
|
|
4 квартал |
242,4 |
221,9 |
422,3 |
|
|
2005 г. |
1 квартал |
146,8 |
214,7 |
4603,6 |
|
2 квартал |
219,5 |
217,8 |
3,0 |
|
|
3 квартал |
274,8 |
215,0 |
3573,1 |
|
|
4 квартал |
261,5 |
220,9 |
1650,4 |
|
|
2006 г. |
1 квартал |
198,6 |
225,7 |
731,7 |
|
2 квартал |
274,8 |
238,6 |
1310,4 |
|
|
3 квартал |
285,6 |
252,4 |
1100,6 |
|
|
4 квартал |
294,2 |
255,1 |
1526,9 |
|
|
2007 г. |
1 квартал |
188,1 |
263,3 |
5655,0 |
|
2 квартал |
241,6 |
260,7 |
363,9 |
|
|
3 квартал |
247 |
252,4 |
28,9 |
|
|
4 квартал |
237,4 |
242,7 |
28,4 |
|
|
MSE |
3812,6 |
|||
Рис.2. Скользящие средние с шагом 4 для прибыли предприятия А
Прогноз на 1 квартал 2008 года составит 228,5 тыс.грн.
5 Сделать вывод.
Из рассмотренных методов стоит использовать наивные модели, учитывающие сезонную составляющую .