2.2.3 Двойные скользящие средние

Одним из способов построения прогноза для данных, имеющих линейный тренд, является использование методики двойных скользящих средних. Этот метод подразумевает следующее: сначала вычисляется ряд значений методом скользящих средних, а потом уже набор прогнозов усредняется этим же методом.

Методика определения прогнозных значений методом двойного скользящего среднего:

1 Определяется первое скользящее среднее:

2 Вычисляется вторичное скользящее среднее:

3 Для построения прогноза к первичному скользящему среднему прибавляется разница между первичным и вторичным скользящим средним.

4 Вводится дополнительный корректировочный фактор, сходный с коэффициентом наклона:

5 Определяется прогнозное значение на p периодов вперед:

2.3 Методы экспоненциального сглаживания

2.3.1 Метод простого экспоненциального сглаживания

По сравнению с методами скользящих средних в методе простого экспоненциального сглаживания применяется взвешенное (экспоненциально) скользящее усреднение всех данных предыдущих наблюдений. Эта модель чаще всего применяется к данным, о которых заранее не известно, имеют ли они тренд.

Экспоненциальное сглаживание предусматривает постоянное обновление модели за счет наиболее свежих данных. Этот метод основывается на усреднении временных рядов прошлых наблюдений в нисходящем (экспоненциально) направлении. Т.е. более поздним событиям присваивается больший вес. Вес присваивается следующим образом: для последнего наблюдения весом будет величина (), для предпоследнего – (1-), для того, которое было перед ним, - (1-)² и т.д.

В сглаженном виде новый прогноз будет определяться как взвешенное среднее последнего наблюдения величины в момент времени t и ее прежнего прогноза на этот же период:

где - прогнозируемое значение на следующий период;

- постоянная сглаживания;

- наблюдение величины за текущий период t;

- прежний сглаженный прогноз этой величины на период t.

Если требуется, чтобы спрогнозированные величины были стабильны и случайные отклонения сглаживались, необходимо выбирать малое значение . Большее значение постоянной имеет смысл в том случае, если нужна быстрая реакция на изменения в спектре наблюдений. Для оценки оптимального значения можно минимизировать среднеквадратическую ошибку:

При использовании основного уравнения простого экспоненциального сглаживания необходимо оговорить начальное сглаженное значение. Часто первая оценка устанавливается равной первому наблюдению. Иногда, в качестве начального используется среднее значение первых пяти или шести наблюдений.

Следует отметить, что в методике экспоненциального сглаживания предполагается, что данные колеблются около уровня, который меняется нечасто. Когда же в данных присутствует значительный тренд, простое экспоненциальное сглаживание постоянно отстает от реальных наблюдений. Тогда необходимо использовать другие методы сглаживания, представленные ниже.

2.3.2 Экспоненциальное сглаживание с учетом тренда: метод Хольта

В случае наличия тренда в исходных данных необходима функция прогнозирования линейного тренда. В 1957 году Хольт разработал метод экспоненциального сглаживания, получивший название двухпараметрического метода Хольта. В этом методе учитывается локальный линейный тренд, присутствующий во временных рядах.

Если во временных рядах имеется тенденция к росту, то вместе с оценкой текущего уровня необходима и оценка наклона. В методике Хольта значения уровня и наклона сглаживаются непосредственно, при этом используются различные постоянные сглаживания для каждого из них. Эти постоянные сглаживания позволяют оценить текущий уровень и наклон, уточняя их всякий раз, когда появляются новые наблюдения. Одним из преимуществ методики Хольта является ее гибкость, позволяющая выбирать соотношение, в котором отслеживаются уровень и наклон.

Ниже приведены три уравнения, составляющие метод Хольта.

1 Экспоненциально сглаженный ряд или оценка текущего уровня:

где - новая сглаженная величина;

- постоянная сглаживания;

- новое наблюдение или реальное значение ряда в период t;

- собственно оценка тренда;

2 Оценка тренда:

где - постоянная сглаживания ().

3 Прогноз на р периодов вперед:

где - прогноз на периодов вперед;

- количество периодов вперед, на которое делается прогноз.

Как и при обычном экспоненциальном сглаживании, постоянные и выбираются субъективно или путем минимизации ошибки прогнозирования. Чем большие значения весов будут взяты, тем более быстрый отклик на происходящие изменения будет иметь место. И наоборот, если веса будут небольшие, то и реакция модели на изменения в данных будет более слабой.

Для минимизации значений MSE нужно создать сетку значений и и выбрать ту комбинацию, которая даст меньшее значение MSE. Особый случай имеет место, когда =, поскольку здесь в одинаковой мере проводится сглаживание как текущего уровня значений, так и тренда. Такой вариант называется двойным экспоненциальным сглаживанием Брауна.

При использовании изложенного алгоритма также необходимо оговорить начальное сглаженное значение. Часто первая оценка устанавливается равной первому наблюдению. При этом тренд будет равен нулю. Иногда, в качестве начального используется среднее значение первых пяти или шести наблюдений.