Варианты заданий.

1. Какие из следующих выражений являются формулами исчисления высказываний:

   1. ;

   2. ;

   3. ;

   4. ;

   5. .

2. Выписать все подформулы формул:

   1. ;

   2. ;

   3. ;

   4. .

Применяя правила подстановки и заключения, доказать, что следующие формулы являются теоремами исчисления высказываний (3 – 10).

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

Применяя правила подстановки и заключения, построить вывод формул из данной системы посылок (11 - 15).

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

Являются ли выводами в исчислении высказываний следующие последовательности формул (16 – 18).

16. 

17. 

16. 

B

Применяя производные правила вывода, показать, что доказуемы формулы (19 – 36).

19. U  B, P  Q ú- (U  P)  (B  Q)

20. U  B, P  Q ú- (U  P)  (B  Q)

21. U  B, P  Q ú- (B  P)  (U  Q)

22. ú-

23. ú-

24. (P  Q)  ((Q  R)  (P  R))

25. (P  Q)  ((R  P)  (R  Q))

26. Q ® R  (P Ú Q) ®(P Ú R)

27. (P ® Q) Ú (Q ® P),

28. P ® (Q® (P  Q))

29. (P ® Q) Ú (P ® Q)

30. (P ® Q)®((P ® (Q ® R)) ® (P ® R)))

31. ((P ® R)® ((Q ® R) ® ((P  Q) ® R)))

32. ((P® Q) ® ((P ®  Q) ®  P))

33. ((  Q ®  P) ® (( Q ® P) ® Q))

34. Q  ((P  Q)  (Q   P)

35. Q  (P   Q)  (P  Q)

36. Q  (P   R  Q  Q)

Применяя производные правила вывода, построить вывод формул (37 – 43).

24. ,

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

Применяя производные правила вывода, построить вывод формул. Проверить, справедлива ли выводимость в обратную сторону, если да, то построить вывод (44 – 59).

44. 

45. 

46. 

47. 

48. 

49. 

50. 

51. 

52. A  (C  P)  (A  C)  P

53. 

54.  () P

55. P Q  (P)

56. P  R  Q ú- ((P ® R) ® (® R

57. (P  Q)  (P  (Q  R)) ú- ( P R)

58. ú-

59. ú-

60. Пусть А – формула, В – подформула формулы А, А₁ - результат замены некоторого вхождения В в А на формулу В₁. Доказать (В ~ В₁) ú- (А ~ А₁). (Теорема о замене)

61. Доказать, что если выводима формула U₁, …, U_n ú- B, то формула (U₁  …  U_n  B) тождественно истина.

62. Найти такие формулы и , что из доказуемости в исчислении высказываний следует доказуемость , но неверно, что ú-.

3. Отношение эквивалентности

Определим эквивалентность формул в исчислении высказываний.

Определение 1. Формулы U и B называются эквивалентными, что обозначается , если

 (1)

Рассмотрим некоторые простые свойства отношения эквивалентности.

1. Рефлексивность: .

2. Симметричность: если , то .

3. Транзитивность: если  и , то .

Задание 1. Доказать свойство симметричности отношения эквивалентности.

Решение.

1. 

2. 

3. 

Из свойств отношения эквивалентности следует, что множество формул исчисления высказываний разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных друг другу формул (классы эквивалентности). Следовательно, все теоремы исчисления высказываний образуют один класс эквивалентных формул.

В исчислении высказываний имеют место следующие эквивалентности, которые соответствуют аналогичным свойствам отношения эквивалентности алгебры высказываний.

1. .

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

Для того чтобы доказать эквивалентность  в исчислении высказываний достаточно построить выводы  и . Покажем, что если  и , то .

1. 	по условию
2. 	по условию
3. 	5 (1)
4. 	5 (2)
5. ,	7
6. 	4 (3, 4, 5)

Последняя формула, в силу определения, означает .

Теорема эквивалентности. Если и - формулы, полученные заменой некоторых (одних и тех же) вхождений какой-либо высказывательной переменной в формуле U соответственно формулами и , то

.

Следствие. Если есть некоторая подформула формулы U и эквивалентна формуле , то формула, полученная заменой в формуле U на , эквивалентна U. Иными словами, если , то .

Свойства 2, 4, 10 и теорема эквивалентности позволяют формулу, составленную из высказывательных переменных лишь с помощью операции дизъюнкции, преобразовать к виду

.

Аналогично формула, составленная из с помощью операции конъюнкции эквивалентна формуле

.

Это позволяет дать определение понятиям нормальных форм исчисления высказываний, которые совпадают с соответствующими определениями алгебры высказываний.

Теорема 3.1. Для каждой формулы исчисления высказываний существуют эквивалентные ей дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы.