- •3. Основы теории надежности систем
- •3.1. Термины и определения в области надежности
- •3.2. Основные показатели надежности невосстанавливаемых (неремонтируемых) систем
- •3.3. Основные показатели надежности восстанавливаемых (ремонтируемых) систем
- •3.4. Законы распределения, используемые при оценке надежности
- •3.5. Аналитические методы расчета надежности информационных систем
- •3.6. Повышение надежности систем путем резервирования
- •3.7. Расчет надежности по статистическим данным
- •3.8. Доверительные интервалы при нормальном распределении случайной величины
- •3.9. Доверительные интервалы при экспоненциальном распределении случайной величины
- •3.10. Определение доверительных интервалов при отсутствии отказов
- •3.11. Критерии согласия. Критерий Пирсона
- •3.12. Критерий Колмогорова
3.11. Критерии согласия. Критерий Пирсона
Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о том, что статистическое распределение согласуется с каким-либо известным законом (нормальным, экспоненциальным, Вейбулла и т. д.)
Имеется несколько критериев согласия: Колмогорова, Пирсона и т. д.
Критерий Пирсона не требует построения самого закона распределения. Достаточно задаться только общим видом функции F(t), а входящие в нее числовые параметры определяются по данным эксперимента.
Предположим, что произведено n независимых опытов, в каждом из которых случайная величина принимает определенное значение. Результаты опытов оформлены в виде статистического ряда с числом разрядов К.
… |
||||
… |
||||
… |
n – общее число значений случайной величины;
ni – число значений в i-ом разряде;
– статистическая вероятность i-ом разряде.
Требуется проверить, согласуются ли экспериментальные данные с гипотезой, что случайная величина Х имеет данный закон распределения. Этот закон распределения называется теоретическим. Из теоретического закона определяются теоретические вероятности попадания случайной величины в каждый разряд:
Сущность критерия согласия Пирсона состоит в сравнении теоретических и статистических вероятностей.
В качестве критерия проверки гипотезы принимают случайную величину
(3.72)
Эта величина при стремится к закону распределения с r степенями свободы. Число степеней свободы находят по равенству
, (3.73)
где k – число интервалов;
s – число параметров предполагаемого распределения, которые вычислены по экспериментальным данным.
Если предполагаемое распределение нормальное, то оценивают два параметра: математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение. Поэтому s = 2 и число степеней свободы
Если статистические данные распределены по экспоненциальному закону, то оценивают параметр , поэтому s = 1 и
Пользуясь таблицами распределения можно для вычисленной по формуле (3.72) меры расхождения и числа степеней свободы r найти вероятность P того, что величина, распределенная по закону превзойдет эту меру. Если эта вероятность мала, меньше или равна 0,1, событие с такой вероятностью можно считать практически невозможным.
Гипотезу о том, что закон распределения X есть F(x) следует считать неправдоподобной. Если же вероятность Р больше 0,1, гипотезу о том, что величина X распределена по закону F(x) следует считать правдоподобной, не противоречащей опытным данным.
Последовательность операций при использовании критерия Пирсона.
1. Определяется мера расхождения опытного и теоретического закона
где ni – количество значений случайной величины в i-ом интервале;
n – общее число значений случайной величины;
– частота повторения событий или статистическая вероятность в i-ом интервале.
– теоретическая вероятность события в i-ом интервале (из теоретической кривой);
k – число разрядов (интервалов);
– наблюдаемое значение критерия.
2. Определяется число степеней свободы распределения по формуле
.
3. Пользуясь таблицами распределения , возможно для значения , вычисленного в пункте 1 и числа степеней свободы r определить вероятность Р. Если эта вероятность мала (Р 0,1), гипотеза о совпадении опытного и теоретического законов отбрасывается. Если Р > 0,1, гипотезу можно принять не противоречащей опытным данным.
Пример 30.
На испытания поставлены 18 приборов. Наблюдение за работоспособностью проводилось через каждые 100 часов работы. Получены следующие результаты испытаний, сведенные в табл. 3.5.
Таблица 3.5
Время испытаний, ч |
0-100 |
100-200 |
200-300 |
300-400 |
400-500 |
500-600 |
600-700 |
Число отказавших приборов, ni |
5 |
5 |
3 |
2 |
1 |
1 |
1 |
Определить среднее время работы приборов и соответствие распределения времени работы приборов экспоненциальному закону.
1. Среднее время работы до отказа:
,
где ni – количество отказавших приборов в интервале времени t;
– представитель разряда, среднее значение времени в i-ом интервале;
К – число интервалов;
n – количество приборов.
ч.
Интенсивность отказов
1/ч.
Теоретическая вероятность появления случайной величины в каждом из интервалов:
Величина pi равна приращению функции распределения на i-ом участке.
2. Определим меру расхождения, равную
Расчетные данные сводятся в таблицу.
Таблица 3.6
Номер интервала |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
5 |
5 |
3 |
2 |
1 |
1 |
1 |
|
0,33 |
0,221 |
0,147 |
0,1 |
0,067 |
0,044 |
0,03 |
|
5,94 |
3,98 |
2,646 |
1,8 |
1,2 |
0,792 |
0,54 |
|
0,884 |
1,04 |
0,125 |
0,04 |
0,04 |
0,043 |
0,21 |
|
0,149 |
0,26 |
0,047 |
0,022 |
0,033 |
0,054 |
0,39 |
3. Число степеней свободы
5. По таблице распределений 2 определяется при х2 = 0,955 и r = 5 вероятность Р того, что величина 2 превзойдет меру расхождения, найденную во 2-ом пункте. Р = 0,96. Р > 0.1, поэтому гипотезу о том, что время работы приборов распределено по экспоненциальному закону, можно считать правдоподобной.