3.9. Доверительные интервалы при экспоненциальном распределении случайной величины
Для определения доверительного интервала случайной величины, распределенной по симметричному закону, близкому к нормальному, используется распределение Стьюдента. При несимметричном законе применяют распределение Пирсона или распределение 2.
Дифференциальная функция распределения 2 имеет вид:
Распределение 2 зависит от одного параметра r, называемого числом степеней свободы.
Составлены
специальные таблицы распределения 2,
пользуясь которыми, можно
по заданной доверительной вероятности
и
числу степеней свободы
r
найти значение квантиля распределения
2.
При
экспоненциальном законе распределения
отказов оценки параметров
,
,
(3.64)
где n
– число отказов в интервале времени
– суммарная
наработка.
Для неремонтируемых элементов (объектов)
(3.65)
где
– время исправной работы i-го
отказавшего элемента (объекта);
N – количество объектов;
– время испытаний;
n – число отказавших объектов.
В случае, когда испытания проводятся до тех пор, пока не откажут все выставленные на испытания объекты, суммарная наработка
(3.66)
Для ремонтируемых объектов
(3.67)
где
– длительность испытаний.
Доверительный
интервал для интенсивности отказов, в
этом случае, находится с помощью таблицы
2,
в которой параметрами являются
доверительная вероятность
и
число степеней свободы r.
Нижняя
и верхняя
границы интенсивностей отказов:
,
где
(3.68)
,
где
(3.69)
В формулах:
– квантили распределения
при
числе степеней свободы
,
– коэффициенты.
Пример 26.
При экспоненциальном законе распределения отказов и испытаний n = 10 устройств до выхода их из строя получены следующие значения наработки в часах:
|
Т1 |
Т2 |
Т3 |
Т4 |
Т5 |
Т6 |
T7 |
T8 |
T9 |
T10 |
|
30 |
50 |
35 |
85 |
100 |
150 |
250 |
300 |
400 |
600 |
Требуется определить:
оценку интенсивности отказов
,
верхнюю и нижнюю доверительные границы
при доверительной вероятности
оценку средней наработки до отказа
Решение.
1.
ч.
.
2. По таблице
распределений
для
и
определим
и найдем по формулам:
;
;
3.
ч.
Пример 27.
За время испытаний
часов
отказало n
= 6 устройств из N
= 30, поставленных на испытания, причем,
отказавшие устройства проработали
соответственно 50, 150, 200, 300, 350, 400 часов.
Определить оценку
,
доверительный интервал для
при
.
Решение.
1.
ч.
2.
1/ч.
3. Для
и
определим
3.10. Определение доверительных интервалов при отсутствии отказов
Пусть производятся испытания какого-либо изделия на безотказность работы. Вероятность отказа очень мала. В результате испытаний изделие не отказало ни разу. Найти максимальную, практически возможную, вероятность отказа.
Поставим эту задачу в общем виде. Произведено n независимых опытов, ни в одном из которых событие А не произошло. Задана доверительная вероятность , требуется построить доверительный интервал для вероятности Р события А, точнее найти его верхнюю границу Р2, так как нижняя граница Р1 равна нулю.
В результате n опытов наблюдается противоположное событие В, состоящее в том, что событие А не появилось ни разу. Вероятность этого события определяется по формуле Бернулли при m = 0, где m – число появлений события В.
,
Получим уравнение для вероятности P2:
откуда
.
(3.70)
Обратная задача.
Событие А с малой вероятностью ни разу не наблюдалось в серии из n опытов. Задана доверительная вероятность . Каково должно быть число опытов, чтобы верхняя доверительная граница для вероятности события была равна заданному значению Р2.
Из формулы (3.70) получим
(3.71)
Пример 28.
Вероятность Р самопроизвольного срабатывания взрывателя при падении снаряда с высоты h неизвестна, но предположительно очень мала. Произведено 100 опытов, в каждом из которых снаряд роняли с высоты h, но ни в одном опыте взрыватель не сработал. Определить верхнюю границу Р2 при условии, что доверительный интервал для вероятности P равен 0,9.
Решение.
Пример 29.
Сколько раз надо убедиться в безотказной работе изделия для того, чтобы с гарантией 95% утверждать, что в практическом применении оно будет отказывать не более чем в 5% всех случаев?
Решение.
