2.4. Расчет вероятностей при многократных испытаниях

Несколько опытов называют независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из опытов не зависит от исходов других опытов.

Пусть вероятность появления события A во всех независимых опытах одна и та же и равна р. В таком случае, вероятность появления события A в n опытах m раз определяется по формуле Бернулли:

(2.6)

Пример 1.

Монета брошена 4 раза. Определить вероятность того, что герб выпадет 2 раза. Вероятность появления герба в каждом опыте p = 0,5.

Решение.

Если число испытаний велико, а вероятность появления события Р в каждом испытании очень мала, пользуются формулой Пуассона:

, (2.7)

где m – число появлений события в n испытаниях;

– среднее число появлений события в n испытаниях.

Формула Пуассона именуется законом редких явлений.

Пример 2.

В учебном заведении обучаются 730 студентов. Вероятность того, что день рождения наугад взятого по списку студента приходится на определенный день года – для каждого из 365 дней. Найти вероятность того, что найдется 3 студента, имеющих один и тот же день рождения.

Решение.

Если число независимых опытов n в формуле Бернулли велико, пользуются асимптотической формулой Лапласа:

, (2.8)

где

Пример 3.

Найти вероятность того, что событие А наступит 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение.

n = 400, m = 80, p = 0.2, 1 – p = 0.8,

Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отличается от 0 и 1, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от К₁ до К₂ раз, приближенно равна определенному интегралу:

(2.9)

где

и – интегралы Лапласа, величины интегралов определяются по таблице.

Пример 4.

Вероятность того, что деталь не прошла проверки ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажутся непроверенными от 70 до 100 деталей.

p = 0.2; 1 – p = 0.8; n = 400; K₁ = 70; K₂ = 100.

2.5. Простейший поток событий

Потоком событий называется последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Простейшим (Пуассоновским) называют поток событий, обладающий свойствами стационарности, отсутствия последействия, ординарности.

Свойство стационарности состоит в том, что вероятность появления событий не зависит от выбора отсчета времени.

Свойство отсутствия последействия заключается в том, что предыстория потока не сказывается на вероятности появления события в ближайшем будущем.

Ординарность потока означает, что вероятность появления двух событий одновременно отсутствует

Интенсивностью потока  называется среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Если интенсивность потока постоянна, то вероятность появления К событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона:

(2.10)

Пример 1.

Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт за одну минуту, равно трем. Найти вероятность того, что за две минуты поступит 4 вызова.

Решение.

 = 3; t = 2 минуты; К = 4.