2.2. Гипергеометрическое распределение

При решении задач контроля качества продукции используется гипергеометрическое распределение

. (2.3)

Из группы в n элементов, состоящих из m элементов одного типа и (n – m) элементов другого типа, берется наугад группа из r элементов. Определяется вероятность того, что среди r элементов будет k элементов первого типа.

Пример 1.

В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку, наудачу, отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов – 5 отличников.

Решение.

Общее число испытаний .

Число благоприятных исходов .

.

Пример 2.

Определить вероятность того, что в выборке из трех штук, отбираемых из 100 деталей, окажется одна дефектная деталь, если среди общего числа будет 30 дефектных деталей.

.

2.3. Основные теоремы теории вероятностей

Несколько событий называют несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Теорема сложения утверждает, что если события A и B несовместны, то вероятность появления одного из них, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

Следствие.

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместимых событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

Пример 1.

В лотерее 1 000 билетов; из них на один билет выпадает выигрыш 500 руб., на 10 билетов – выигрыш по 100 руб., на 50 билетов – выигрыши по 20 руб., на 100 билетов – выигрыш по 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Найти вероятность выигрыша не менее 20 руб.

Решение.

Условие А: выигрыш не менее 20 руб. осуществится, если произойдет любое из трех несовместных событий.

– выигрыш 20 руб.;

– выигрыш 100 руб.;

– выигрыш 500 руб.;

По теореме сложения вероятностей

Полной группой называют совокупность единственно возможных событий испытания.

Пример 2.

Стрелок производит по мишени 2 выстрела. События (одно попадание, один промах), (два попадания) и (два промаха) образуют полную группу.

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

.

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из противоположных событий , другое .

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

События A и B являются независимыми, если наступление одного из них не меняет вероятности другого.

Теорема умножения для независимых событий. Она состоит в следующем.

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

Пример 3.

В урне 5 шаров (2 белых и 3 черных). Из урны вынимают один шар, затем шар возвращается в урну и шары перемешиваются. Затем вынимается второй шар. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение.

Событие – появление двух белых шаров,

– появление белого шара при первом вынимании,

– появление белого шара при втором вынимании,

События A и В являются зависимыми, если наступление одного из них меняет вероятность другого.

Условной вероятностью зависимого события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В совершилось. Условная вероятность события А обзначается или

Теорема умножения вероятностей двух зависимых событий.

.

Вероятность совместного наступления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло.

Пример 4.

Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

Решение.

Введем обозначение событий:

Событие А – студент знает первый вопрос, предложенный экзаменатором. Вероятность события:

В – студент знает второй вопрос, предложный преподавателем. Вероятность того, что студент знает второй вопрос, при условии, что ему известен первый вопрос, т. е. условная вероятность события В определяется по формуле:

.

С – студент знает третий вопрос. Условная вероятность события С, вычисленная при условии, что студент знает 1-й и 2-й вопросы:

Искомая вероятность того, что студенту известны все три вопроса:

.

Во многих реальных ситуациях событие А может произойти вместе с одним из событий Н₁, Н₂, …, Н_n, образующих полную группу событий. Эти события называются гипотезами.

Безусловная вероятность P(A) события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе.

(2.4)

Данная формула называется формулой полной или средней вероятности.

Пример 5.

Пусть конденсаторы изготавливаются тремя заводами, причем вероятность того, что данное изделие изготовлено на 1-ом заводе – 0,2, на 2-ом – 0,3, на 3-ем – 0,5. Вероятности того, что конденсатор сохранит работоспособность в течение времени Т для 1-го, 2-го, и 3-го завода, соответственно равны: 0,9; 0,92; 0,808. Чему равна вероятность Р(А) того, что наудачу взятый конденсатор из имеющегося запаса, сохранит работоспособность в течение времени Т?

Решение.

Конденсатор может оказаться с 1-го (гипотеза Н₁), 2-го (Н₂), 3-го (Н₃) заводов.

Условные вероятности интересующего нас события А при этих гипотезах соответственно равны:

Безусловная, или средняя, вероятность события А:

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез Н₁, Н₂, …, Н_n. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно , …, . Произведен опыт, в результате которого наблюдается появление некоторого события А. Условные вероятности гипотез после опыта определяются по формуле Бейеса.

. (2.5)

(i = 1, 2, ..., n).

Пример 6.

Прибор может собираться из высококачественных деталей и деталей обычного качества. Из высококачественных деталей собираются 40% приборов. Если прибор собран из высококачественных деталей, его надежность (вероятность безотказной работы за время t) равна 0,95, если из деталей обычного качества – его надежность – 0,7. Прибор работал в течение времени t безотказно. Найти вероятность того, что прибор собран из высококачественных деталей.

Решение.

Возможны две гипотезы:

Н₁ – прибор собран из высококачественных деталей;

Н₂ – прибор собран из деталей обычного качества.

Вероятность гипотез до опыта:

P(H₁) = 0.4;

P(H₂) = 0.6.

В результате опыта наблюдается событие А: прибор безотказно работал в течение времени t. Условные вероятности этого события при гипотезах Н₁ и Н₂:

Условная вероятность гипотезы Н₁:

Формула Бейеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известен результат испытания, в итоге которого появляется событие А. Если в результате испытания прибор вышел из строя, гипотезы Н₁ и Н₂ становятся невозможными. Необходимо выяснить и устранить причины отказа прибора.