4.2.Середні величини Базові поняття і терміни

Середня величина – це узагальнююча характеристика сукупності однотипних одиниць за певною кількісною ознакою. Вона характеризує типовий рівень варіюючої ознаки і відображає те спільне, характерне, що об'єднує всю масу елементів, тобто статистичну сукупність.

Призначення середніх в економічному аналізі:

• характеристика рівня масових суспільних явищ;

• проведення порівняльного аналізу;

• вивчення тенденцій розвитку явищ;

• оцінка результатів вибіркового спостереження;

• вимірювання взаємозв'язків явищ.

Виходячи з того, що середня величина характеризує розмір ознаки в розрахунку на одну одиницю, існує взаємозв'язок між серед­ньою величиною і показниками, які потрібні для її визначення.

Логічні формули середніх величин:

Види середніх величин

У практиці статистичної обробки інформації в залежності від особливості досліджуваних явищ застосовують різні види середніх величин.

Середні величини в статистиці належать до класу степеневих середніх, які описує формула:

де χ — рівень ознаки, варіанти;

n - число варіантів;

m - показник степеня середньої.

Зміна степеня середньої величини визначає її вигляд:

при m = 1 - середня арифметична;

при m = 0 - середня геометрична;

при m =-1 - середня гармонічна;

при m = 2 - середня квадратична;

при m = 1 - середня кубічна.

Середня арифметична проста

де χ_і — індивідуальні значення ознаки окремих одиниць сукупності;

n - кількість одиниць сукупності.

Використовується за первинними, незгрупованими даними.

Середня арифметична зважена

де χ_і, — індивідуальні значення ознаки окремих груп варіаційного ряду розподілу (варіанти);

fi— частоти або частки ряду розподілу.

Обчислюється за згрупованими даними, коли вихідна інформація наведена у вигляді дискретного або інтервального варіаційного ряду розподілу.

В інтервальних рядах розподілу для обчислення середньої величини насамперед слід визначити центр інтервалу в кожній групі.

Середнє значення інтервалу дорівнює півсумі його верхньої та нижньої меж:

Якщо в рядах розподілу є відкриті інтервали, то в таких рядах величина інтервалу першої групи умовно дорівнює величині інтервалу наступної групи, а величина інтервалу останньої групи - величині інтервалу попередньої групи.

Середня гармонічна - це величина, обернена середній арифме­тичній з обернених значень ознаки. Середня гармонічна використо­вується для осереднення обернених індивідуальних значень ознак шляхом їх підсумовування для незгрупованих даних використо­вується середня гармонічна проста.

Середня гармонічна проста

Якщо дані згруповані, то використовують середню гармонічну зважену. її використовують тоді, коли показники частоти (f), які виступають статистичною вагою, відсутні, але відомі добутки ознаки (х) на ваги (f), тобто показник ω (ω=xf).

Середня гармонічна зважена

Середня прогресивна - це середня величина, яка при обчисленні враховує не всі варіанти, а лише кращі показники з точки зору Інтересів виробництва. Кращими можуть бути показники ранжированого ряду, які є вищими від загальної середньої (наприклад, виро­біток продукції") або нижчими від загальної середньої (наприклад, собівартість продукції). Структуру сукупностей характеризують особливими показниками, які називають у статистиці структурними (розподільчими) середніми величинами. До них відносяться мода і медіана.

Мода (Мо)- це та варіанта, яка найчастіше повторюється в даній сукупності.

Модою у дискретному ряді розподілу є варіанта, яка має найбільшу частоту.

В інтервальному ряді розподілу для знаходження модальної величини, що міститься в певному інтервалі, формула має такий вигляд:

Де χ₀ - мінімальне значення ознаки в модальному інтервалі;

і_Мо - величина модального інтервалу;

- частота модального Інтервалу;

- частота інтервалу, що передує модальному;

- частота інтервалу наступного за модальним.

У рядах розподілу, у яких не один, а два варіанти однаково модальні, тобто мають найбільші частоти, означає, що є дві моди -розподіл бімодальний.

Медіаною (Me) у статистиці називають варіанту, що є сере­диною впорядкованого варіаційного ряду розподілу, тобто ділить його на дві рівні частини: одна частина має значення варіюючої ознаки менше, ніж середня, а друга - більше.

Медіану в дискретному ряді розподілу визначають за номером медіани, який визначається за формулою:

У тому випадку, коли сума частот є парне число, і номер медіани відповідно є дробовим числом, то медіана лежить у середині сусідніх варіантів.

Медіана в інтервальному ряді розподілу визначається за формулою:

Де χ_о – мінімальне значення ознаки в медіанному інтервалі,

і_Ме – величина медіанного інтервалу;

Σƒ – сума частот,

S – сума нагромаджених частот до медіанного інтервалу,

ƒ_Ме – частота медіанного інтервалу.

Величина моди і медіани, як правило, відрізняється від величини середньої і співпадає з нею тільки у випадку симетрії варіаційного ряду.