Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Вологодский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная Алгебра: лекция 6-7

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

04.11.2018

Размер:

384.51 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

Решение. Данная система является недоопределенной (в ней три неизвестные и лишь два уравнения). Поэтому следует ожидать, что она, скорее всего, будет иметь бесчисленное количество решений. Одно из них, в силу однородности системы, очевидно – это тривиальное решение (; ; ). Найдем остальные решения.

Получили, как и ожидали, бесчисленное количество решений. Его можно представить и в более удобной симметричной форме, если ввести обозначение (t – свободный параметр). Тогда получим окончательно

(t – произвольная (свободная) величина)

В этом множестве решений, заметим, содержится и тривиальное решение – оно получается при .

Итак, все варианты, которые могут встретиться при решении систем линейных уравнений (1), мы рассмотрели. Подведем

Общий итог.

Любая система линейных уравнений (1) (с любым количеством уравнений и любым количеством неизвестных) может, в принципе:

а) иметь единственное решение;

б) не иметь решений;

в) иметь бесчисленное множество решений.

При этом квадратные системы (у которых количество уравнений равно количеству неизвестных) имеют, как правило, одно решение.

Системы, у которых количество уравнений больше количества неизвестных (переопределенные системы), как правило, не имеют решений.

Системы, у которых количество уравнений меньше количества неизвестных (недоопределенные системы), как правило, имеют бесчисленное множество решений.

Окончательно вопрос о количестве решений и о самих решениях каждой конкретной системы может быть выяснен в процессе решения системы. При этом наиболее естественным, универсальным, экономным методом решения систем является метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

Рассмотрим метод Гаусса в более формализованном виде .Прежде чем излагать эту модификацию метода, сделаем одно предварительное замечание. Пусть у нас есть произвольная система линейных уравнений.

(6)

При решении систем линейных уравнений методом Гаусса придется делать следующие преобразования системы: обе части одного из уравнений системы, умноженные на одно и то же число, вычитать из соответствующих частей некоторого другого уравнения системы (1), переставлять два уравнения системы (1). Эти преобразования системы, как уже было отмечено, являются элементарными преобразованиями системы линейных уравнений, переводящими эту систему в ей эквивалентную.

Может случиться, что после выполнения таких преобразований в нашей системе появится уравнение, все коэффициенты левой части которого равны нулю. Если и свободный член этого уравнения равен нулю, то уравнение удовлетворяется при любых значениях неизвестных, и поэтому, отбрасывая это уравнение, мы придем к системе уравнений, эквивалентной исходной системе. Если же свободный член рассматриваемого уравнения отличен от нуля, то это уравнение не может удовлетворяться ни при каких значениях неизвестных, и поэтому полученная нами система уравнений, равно как и ей исходная система (1), будут несовместными.

Перейдем к изложению метода Гаусса. Пусть в данной нам произвольной системе линейных уравнений (1) коэффициент . Если же случится так, что этот коэффициент равен нулю, то на первое место поставим любой другой коэффициент не равный нулю.

Преобразуем теперь систему (1), исключая неизвестное из всех уравнений кроме первого. Для этого обе части первого уравнения умножим на число и вычтем из соответствующих частей второго уравнения, затем обе части первого уравнения, умноженные на число , вычтем из соответствующих частей третьего уравнения и т.д.

В результате мы получим новую систему из s уравнений с n неизвестными:

(7)

Нет необходимости явно записывать выражения новых коэффициентов через коэффициенты и свободные члены исходной системы.

Полученная система уравнений (7) эквивалентна системе (6). Будем теперь преобразовывать систему (7). При этом первое уравнение уже больше не будет участвовать в преобразованиях. Подлежащей преобразованиям будем считать лишь часть системы (7), состоящую из всех уравнений, кроме первого. При этом мы считаем, конечно, что среди этих уравнений нет таких, все коэффициенты левых частей которых равны нулю. Такие уравнения мы выбросили бы, если бы и их свободные члены были равны нулю, а в противном случае мы уже доказали бы несовместность нашей системы. Таким образом, среди коэффициентов есть отличные от нуля. Пусть для определенности . Преобразуем теперь систему (7), вычитая из обеих частей третьего и каждого из следующих уравнений обе части второго уравнения, умноженные соответственно на числа:

Этим будет исключено неизвестное из всех уравнений, кроме первого и второго и мы придем к следующей системе уравнений (8), эквивалентной системе (7), а поэтому и системе (6).

(8)

Теперь система содержит t уравнений, , так как некоторые уравнения оказались, возможно, отброшенными. Разумеется число уравнений системы могло уменьшиться уже после исключения неизвестного . В дальнейшем, преобразованиям подлежит лишь часть полученной системы, содержащая все уравнения, кроме двух первых.

Этот процесс последовательного исключения неизвестных продолжается до тех пор пока не произойдет одно из двух событий:

Мы придем к такой системе, одно из уравнений которой имеет отличный от нуля свободный член, а все коэффициенты левой части равны нулю. В этом случае наша исходная система несовместна.
Мы получим следующую систему уравнений, эквивалентную исходной:

(9)

Здесь Отметим также, что и, очевидно, . В этом случае система совместна. Она будет неопределенной при ( система будет иметь трапецеидальный вид – (9)) и определенной при ( система будет иметь треугольный вид – (10) )

(10)

Из последнего уравнения мы получаем вполне определенное значение для неизвестного . Подставляя его в предпоследнее уравнение, мы найдем однозначно определенное значение для неизвестного . Продолжая так далее, мы найдем все значения неизвестных. Таким образом, система (6), а значит и система (10) обладает единственным решением, т.е. совместна и определена.

Если же , то для «свободных» неизвестных мы возьмем произвольные числовые значения, после чего, двигаясь по системе (9) снизу вверх, мы найдем для неизвестных вполне определенные значения. Так как значения для свободных неизвестных можно выбрать бесконечным числом различных способов, то система (9) и, следовательно, система (6) будут совместными, неопределенными.

Подводя итог, можно сказать следующее: метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. При этом система будет несовместной, если в процессе преобразований мы получим уравнение, в котором коэффициенты при всех неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля; если же мы такого уравнения не встретим, то система будет совместной. Совместная система уравнений будет определенной, если она приводится к треугольному виду (9), и неопределенной, если приводится к трапецеидальному виду (10).

Применим все вышеизложенное к системам линейных однородных уравнений. Если в системе линейных однородных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных, то эта система обладает, помимо нулевого решения, также и ненулевыми решениями, т.е. решениями, в которых значения некоторых ( или даже всех ) неизвестных отличны от нуля. Таких решений будет бесконечно много.

При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса следует выписать матрицу из коэффициентов системы, присоединить к ней столбец из свободных членов, для удобства отделенный вертикальной чертой, и все преобразования выполнять над строками этой «расширенной» матрицы.

Пример 8. Решить систему

Решение:

Произведем вышеописанные преобразования с расширенной матрицей системы.

Таким образом, мы приходим к следующей системе уравнений

Эта система обладает единственным решением: Значит, она является определенной.

Пример 9. Решить систему

Решение.

1) Из третьей строки вычесть первую, далее третью строку умножить на 3 и вычесть из второй.

2) Поменять местами второй и третий столбцы, а потом вторую и третью строки.

3) Из третьей строки вычесть вторую, умноженную на 21, затем из четвертой строки вычесть вторую, умноженную на 20. Далее из четвертой строки вычесть третью.

Мы пришли к системе, содержащей уравнение 0=2. Исходная система будет, следовательно, несовместной.

Пример 10. Решить систему

Решение.

Эта система однородных уравнений, причем число уравнений меньше числа неизвестных; она должна быть поэтому неопределенной. Так как все свободные члены равны нулю, то мы будем подвергать преобразованиям лишь матрицу из коэффициентов системы:

1) Поменяем местами первую и третью строки.

2) Из второй строки вычтем первую, умноженную на 2, из третьей строки вычтем первую, умноженную на 4.

3) Поменять местами второй и третьей столбец. Из третьей строки вычесть вторую.

Мы пришли к системе уравнений:

В качестве свободного неизвестного можно принять любое из неизвестных Пусть Тогда из первого уравнения следует после чего из второго уравнения получаем , а из третьего уравнения . Таким образом , общий вид решений заданной системы уравнений:.

Упражнения

Решить систему

где а – некоторый числовой параметр. Указать, при каких значениях а система: а) имеет единственное решение; б) не имеет решений; в) имеет бесчисленное множество решений.

Ответ: а) При система имеет единственное решение (;); б) при система не имеет решений; в) бесчисленного количества решений система ни при каких значениях а иметь не может.