3.3 Короткі відомості про метод переміщень

У ряді випадків розрахунок рамних конструкцій значно спрощується, якщо за невідомі прийняти не зусилля, а лінійні і кутові переміщення вузлів рами. Після визначення таких переміщень далі не важко знайти всі необхідні зусилля. Такий метод розрахунку називається методом переміщень або методом деформацій.

Мірою кутового переміщення є кут повороту вузла рами. При цьому при повороті вузла кути між стрижнями рами не змінюються. При розрахунку переміщень зневажають впливом поздовжніх і поперечних сил на деформацію стрижнів рами. Таким чином, не враховують зближення кінців стрижнів при їхньому вигині.

Число невідомих переміщень визначається як сума:

де n_y – число кутових переміщень

n_λ – число лінійних переміщень

Число невідомих кутових переміщень n_y дорівнює числу твердих незакріплених вузлів рами (твердим уважається вузол, у якому кінці мінімум двох стрижнів жорстко зв’язані між собою). При підрахунку твердих вузлів не включаються ті вузли, переміщення яких задані, наприклад опорні тверді закріплення.

Кількість невідомих лінійних переміщень n_λ дорівнює ступеню геометричної змінюваності системи, отриманої із заданої шляхом введення в усі тверді вузли (включаючи опорні) шарнірів, тобто n_λ дорівнює мінімально необхідній кількості зв'язків, які необхідно накласти на шарнірну систему для перетворення її в геометрично незмінну.

Для одержання основної системи методу переміщень необхідно, по-перше, в усі жорсткі вузли заданої системи ввести закладення, що перешкоджають їхньому повороту, і, по-друге, увести опорні стрижні, які запобігають лінійним зсувам вузлів. Основну систему можна розглядати як сукупність декількох статично невизначених балок.

Канонічні рівняння методу переміщень мають вигляд

. (3.5)

У цих рівняннях невідомі Z₁, Z₂, Z₃, … Z_n являють собою кути повороту або лінійні зсуви вузлів. Коефіцієнти при невідомих являють собою реактивні моменти в закладеннях або реакції в опорних стрижнях основної системи, викликані одиничними зсувами. Вільні члени являють собою реактивні моменти в закладеннях або реакції у вузлових стриженьках основної системи, викликані заданим навантаженням.

Фізичний зміст канонічних рівнянь (3.5) полягає в тому, що сумарні реакції в штучно накладених зв'язках (вузлових закладеннях і опорних стрижнях), викликані заданим навантаженням і переміщеннями Z₁, Z₂, Z₃, … Z_n, дорівнюють нулю, тому що в реальній системі ці зв'язки відсутні.

Для визначення коефіцієнтів канонічних рівнянь необхідно побудувати епюри згинальних моментів в основній системі окремо від заданого навантаження і від кожного одиничного переміщення: Z₁=1, Z₂=1…... При цьому користуються таблицями готових рішень для статично невизначених балок (табл. 3.2).

Таблиця 3.2. Таблиця готових рішень для балок

№ з/п	Схеми балок	Епюри згинальних моментів і реакцій опор	Формули

Коефіцієнти, що являють собою реактивні моменти в штучних закладеннях, визначаються шляхом вирізання вузлів основної системи і складання для них рівняння рівноваги ∑М=0. Коефіцієнти, що представляють собою реакції в штучно доданих опорних стриженьках, визначають, розрізаючи основну систему і складаючи рівняння рівноваги: ∑X=0, ∑Y=0. Реакції вважаються позитивними, якщо їхній напрямок збігається з напрямком повороту або лінійного зсуву вузла.

Визначивши шляхом рішення системи канонічних рівнянь невідомі переміщення Z₁, Z₂, Z₃, … Z_n, знаходять зусилля в елементах і будують епюри M, Q і N. Згинальні моменти у вузлах визначають, підсумовуючи відповідні значення моментів від навантаження і від обчислених переміщень

. (3.6)

Поперечні сили визначаються залежно від згинальних моментів за формулою

. (3.7)

де Q₀ – поперечна сила у відповідному перетині балки прольотом l_n, що вільно лежить на опорах;

M_n, M_n+1 – вузлові моменти.

Поздовжні сили визначаються залежно від поперечних сил з рівнянь рівноваги вузлів рами.