3 Розрахунок металоконструкцій за розрахунковою схемою «статично невизначена рама» методом сил і методом переміщень

3.1 Особливості статично невизначених рам

Під розрахунковою схемою «рама» розуміється стрижнева система, геометрична незмінність якої досягається за рахунок твердого з'єднання кінців стрижнів у вузлах. Якщо подумки тверді вузли рами замінити шарнірами, то вона перетворюється в механізм. Рама називається статично невизначеною, якщо опорні реакції або внутрішні силові фактори в стрижнях не можуть бути визначені з одних рівнянь статики. Надлишок невідомих сил понад число рівнянь статики називають зайвими невідомими.

Зайві невідомі сили з'являються тоді, коли рама має зайві зв'язки – зовнішні і внутрішні. У першому випадку говорять, що система зовні статично невизначена, у другому – внутрішньо статично невизначена.

Число зайвих зв'язків не завжди збігається із числом зайвих невідомих, підлягаючому визначенню при розрахунках. Число зайвих невідомих залежить від методу розрахунку. Розходження методів розрахунку статично невизначеної системи полягає в принципах, покладених в основу складання додаткових рівнянь, необхідних для визначення зайвих невідомих.

У лекціях розглядалися два основних методи розрахунку статично невизначених систем:

• метод сил, коли за невідомі в додаткових рівняннях прийняті сили (моменти);

• метод переміщень (деформацій), коли за невідомі приймаються пружні переміщення системи (кутові і лінійні).

Розглянемо застосування обох методів на конкретному прикладі.

3.2 Розрахунок рам кранової естакади методом сил

Метод сил реалізується в наступній послідовності [3, 4]:

• установлюють ступінь статичної невизначеності;

• вибирають основну систему, замінивши відкинуті зайві зв'язки невідомими силами Х₁, Х₂, Х₃, …, Х_n;

• навантажують основну систему заданим зовнішнім навантаженням;

• послідовно навантажують основну систему одиничними силами, докладеними замість зайвих невідомих;

• становлять додаткові рівняння (канонічні рівняння), зміст яких полягає в тому, що сумарні переміщення точок докладання зайвих невідомих сил у напрямку їхньої дії, викликані заданим зовнішнім навантаженням і невідомими силами, дорівнюють нулю;

• обчислюють коефіцієнти і вільні члени канонічних рівнянь, наприклад, способом перемножування епюр за правилом Верещагіна;

• вирішують систему канонічних рівнянь і визначають невідомі Х₁, Х₂, Х₃, …, Х_n;

• визначають повні зусилля в перетинах заданої рами, викликані зовнішнім навантаженням і зайвими невідомими, на основі принципу незалежності дії сил за формулами

. (3.1)

. (3.2)

. (3.3)

Для підкранової естакади прийнята наступна розрахункова схема (рис. 3.1).

Рисунок 3.1 – Розрахункова схема підкранової естакади

Для стійки і ригеля використаний двотавр №30М (балки для підвісних колій), для якого F=63,9 см; I_x=9400 см⁴; W_x=627 см³; I_x=492 см⁴; W_у=75,4 см³; I₁=I₂=I_x=9400 см⁴; l₁=15 м; l₂=10 м; h=4 м; G=25 кН.

За методом сил система три рази зовні статично невизначена. Основну систему одержуємо шляхом відкидання «зайвих зв'язків». Залежно від того, які зв'язки прийняті за зайві, можливо кілька варіантів основної системи (рис. 3.2, а, б, в).

а)	б)	в)

Рисунок 3.2. Варіанти основної системи за методом сил

Приймаємо основну систему за варіантом рис. 3.2, б. Заміняючи відкинуті зайві зв'язки невідомими зусиллями і прикладаючи задане зовнішнє навантаження, одержимо так називану еквівалентну систему (рис. 3.3).

Рисунок 3.3 – Еквівалентна система за методом сил

Складаємо канонічні рівняння методу сил:

. (3.4)

Для визначення коефіцієнтів, які входять в ці рівняння і вільних членів будуємо епюри від одиничних сил і від зовнішніх навантажень, які показано на рис. 3.4, а, б, в, г.

Перемножуючи між собою за правилом Верещагіна епюри на рис. 3.4,

а)	б)
в)	г)

Рисунок 3.4 - Епюри від одиничних сил і від заданого навантаження (побудовані з боку розтягнутих волокон)

обчислюємо коефіцієнти і вільні члени канонічних рівнянь, при цьому використаємо готові формули по табл. 3.1.

Наведемо приклад розрахунку статично невизначеної системи на рис. 3.3 за допомогою математичного пакета MathCAD.

Таблиця 3.1 – Готові формули перемножування епюр за правилом Верещагіна

Епюра М Епюра Мк

Результуюча епюра згинальних моментів показана на рис. 3.5.

Рисунок 3.5 – Результуюча епюра згинальних моментів за методом сил і епюра від Х3=1 (для виконання перевірки)

Для перевірки правильності обчислень перемножимо за правилом Верещагіна результуючу епюру з будь-якою одиничною, при цьому результат повинен дорівнювати нулю, тому що це є переміщення в напрямку відкинутого зв'язку, що є неможливим, наприклад з Х₃=1:

Погрішність розрахунку складає

.