- •Глава 1. Математическая модель,
- •§ 1. Числовые и алгебраические выражения
- •§ 2. Что такое математический язык
- •§ 3. Что такое математическая модель
- •Глава 2. Степень с натуральным
- •§ 4. Что такое степень с натуральным показателем
- •§ 5. Таблица основных степеней
- •§ 6. Свойства степеней с натуральными показателями
- •§ 7. Умножение и деление степеней
- •§ 8. Степень с нулевым показателем
- •Глава 3. Одночлены. Операции над одночленами
- •§ 9. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена
- •§ 10. Сложение и вычитание одночленов
- •§ 11. Умножение одночленов.
- •§ 12. Деление одночлена на одночлен
- •Глава 4. Многочлены.
- •§ 13. Основные понятия
- •§ 14. Сложение и вычитание многочленов
- •§ 15. Умножение многочлена на одночлен
- •§ 16. Умножение многочлена на многочлен
- •§ 17. Формулы сокращенного умножения
- •§ 18. Деление многочлена на одночлен
- •Глава 5. Разложение многочленов на множители
- •§ 19. Что такое разложение многочленов
- •§ 20. Вынесение общего множителя за скобки
- •§ 21. Способ групировки
- •§ 22. Разложение многочлена на множители
- •§ 23. Разложение многочлена на множители
- •§ 24. Сокращение алгебраических дробей
- •§ 25. Тождества
- •Глава 6. Линейная функция
- •§ 26. Координатная прямая
- •§ 27. Координатная плоскость
- •§ 28. Линейное уравнение
- •§ 29. Линейная функция и ее график
- •§ 30. Прямая пропорциональность и ее график
- •§ 31. Взаимное расположение графиков линейных функций
- •§ 33. Графическое решение уравнений
- •Глава 8. Системы двух линейных
- •§ 35. Основные понятия
- •§ 36. Метод подстановки
- •§ 37. Метод алгебраического сложения
- •§ 38. Системы двух линейных уравнений
§ 7. Умножение и деление степеней
с одинаковыми показателями
№ 221
а) (2a)
4
= 24
· a4
; б) ( 3b )
5
= 35
· b5
; в) ( 6n )
3
= 63
· n3
; г) ( 8n )
2
= 82
· n2
.
№ 222
а) (– 2p)
3
= (– 2)
3
· p3
; б) (– 5q)
4
= (– 5)
4
· q4
;
в) (– 7c)
2
= (– 7)
2
· c
2
; г) (– 3d)
5
= (– 3)
5
· d5
.
№ 223
а) ( mn )
6
= m6
· n6
; б) ( ab )
4
= a4
· b4
; в) ( pq )
3
= p3
· q3
; г) (cd)
10
=c
10
·d10
.
№ 224
а) (– ac )
17
= (– a)
17
· c
17
; б) (– am )
8
= (– a)
8
· m8
;
в) (– rs )
3
= (– r)
3
· s
3
; г) (– xy )
12
= (– x)
12
· y
12.
№ 225
а) ( xy
3
)
2
= x
2
· y
6
; б) ( a2
bc
3
)
4
= a8
· b4
· c
12
;
в) ( p3
cd6
)
18
= p54
· c
18
· d108
; г) ( u5
v
4
t
7
)
8
= u40
· v
32
· t
56
. 34
№ 226
а) ( 3p2
r
8
)
5
= 35
· p10
· r
40
; б) ( 6a5
bx
3
)
3
= 63
· a15
· b3
· x
9
;
в) ( 10a2
b5
)
4
= 104
· a8
· b20
; г) ( 4r
5
q8
p9
)
2
= 42
· r
10
· q16
· p18
.
№ 227
а) 36a2
= (6a)
2
; б) 49b2
= (7b)
2
; в) 81c
2
= (9c)
2
; г) 64d2
= (8d)
2
.
№ 228
а) a2
· b2
· c
2
= (abc)
2
; б) x
3
· y
3
· z
3
= (xyz)
3
;
в) m5
· n5
· s
5
= (mns)
5
; г) p12
· q12
· r
12
= (pqr)
2
.
№ 229
а) 16 · x
4
· y
4
· z
4
= (2xyz)
4
; б) 125 · c
3
· d3
· z
3
= (5cdz)
3
;
в) 81 · m2
· p2
· q2
= (9mpq)
2
; г) 32 · r
5
· s
5
· q5
= (2rsq)
5
.
№ 230
а) a2
· b10
= (ab5
)
2
; б) x
8
· y
12
= (x
4
y
6
)
2
;
в) x
2
· y
4
· z
24
= (xy
2
z
12
)
2
; г) p8
· q10
· z
30
= ( p4
q5
z
15
)
2
.
№ 231
а) x
4
· y
6
= (x
2
y
3
)
2
; б) 16 · q18
· r
34
= (4q9
r
17
)
2
;
в) 81 · c
8
· d16
· f
28
= ( 9c
4
d8
f
14
)
2
; г) 121 · m12
· n16
· r
54
= ( 11m6
n8
r
27
)
2
.
№ 232
а) 23
· 53
= 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 = (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5) = 103
= 1000;
б)
3
1 ; в) 0,66
· 56
= (0,6 · 5)
6
= 36
= 729;
г)
33 333 3
35 6 2 35 · 6 · 2 35 · 12 1 1
··
24 7 5 24 · 7 · 5 24 · 35 2 8
⎛⎞⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
= === ⎜⎟⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠
.
№ 233
а)
12 12
12
aa
b b
⎛⎞
= ⎜⎟
⎝⎠
; б)
17 17
17
cc
d d
⎛⎞
= ⎜⎟
⎝⎠
; в)
4 4
4
aa
b b
⎛⎞
−= ⎜⎟
⎝⎠
; г )
5 5
5
cc
d d
⎛⎞ ⎛⎞
−=−⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠
.
№ 234
а)
6 66 6
66 6
22·64
3 3 · 729
aaa
b bb
⎛⎞
== ⎜⎟
⎝⎠
; б)
2 22 2
22 2
77·49
8 8· 64
x xx
y yy
⎛⎞
== ⎜⎟
⎝⎠
;
в)
5 55
55 5 2 2· 32
ccc
d dd
⎛⎞
== ⎜⎟
⎝⎠
; г)
3 33 3
33 3
33·27
5 5 · 125
mmm
n nn
⎛⎞
−=− =− ⎜⎟
⎝⎠
.
№ 235
а)
2 510
24
3 3 59049
2401 77
⎛⎞
== ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
; б)
2 510
24
2 2 1024 399
1
625 625 55
⎛⎞
== = ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
; 35
в)
4 288
4 8 4096 8
bbb ⎛⎞ −
== ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
; г)
2 36
24
( 3) 3 729
2401 (7) 7
⎛⎞ −
== ⎜⎟
⎜⎟ − ⎝⎠
.
№ 236
а)
8 8
8
33
5 5
⎛⎞
= ⎜⎟
⎝⎠
; б)
9 9
9
77
11 11
⎛⎞
= ⎜⎟
⎝⎠
; в)
3 3
82
mm ⎛⎞
= ⎜⎟
⎝⎠
; г)
4 4
16 2
cc ⎛⎞
= ⎜⎟
⎝⎠
.
№ 237
а) b3
x
3
=(bx)
3
; б) 25a4
=(5a2
)
2
; в) 32x
10
y
5
= (2x
2
y)
5
; г) 16a8
b12
= ( 2a2
b3
)
4
.
№ 238
а) 85
· 0,1255
= (8 · 0,125)
5
= 15
= 1; б) 46
· 0,256
= (4 · 0,25)
6
= 16
= 1;
в) 54
· 0,44
= (5 · 0,4)
4
= 24
= 16; г) 1,257
· 87
= (1,25 · 8)
7
= 107
= 10000000.
№ 239
а)
3 33 3
5 7 5 7 5 125 17
·· 4
73 7332727
⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞
−−=−−=== ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
;
б)
10 10 10
10 78 78
··11
87 87
⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞
−−=−−== ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠
;
в)
66 6
6 512 512
··264
65 65
⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=== ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
; г)
44 4
4 38 38
··216
43 43
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞
= == ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠
.
№ 240
а)
()
6639
448 2
5 125 5 5 5
5
25 5 5
⋅⋅
=== ; б)
11 11 14
2
62612
3273273
39;
9(3)3
⋅⋅
= ===
в)
5538
2
3236
28 22 2
24
4(2)2
⋅⋅
==== ; г)
46 24
4
727620
16 (2 ) 2
216
464 (2)2 2
= ===
⋅⋅
.
№ 241
а)
()
8 88 8
2
666
23 23 6
636
666
⋅ ⋅
==== ; б)
()
5 55 5
2
333
34 34 12
12 144
12 12 12
⋅ ⋅
==== ;
в)
()
11 11 11 11
10 10 10
79 79 63
63
63 63 63
⋅ ⋅
=== ; г)
()
8 88 8
777
28 28 16
16
16 16 16
⋅ ⋅
= == .
№ 242
а)
()
2 6 24 2 24
6
22 2
27 3 3 27 9 27 (3 )
3 729
81 81 81
⋅⋅ ⋅⋅
== == ;
б)
()
21212
6
66 6 6
10 10 10
10 1000000
25 10 25
====
⋅ ⋅
; 36
в)
()
16 16 16 16
2
14 14 14
53 53 15
15 225
15 15 15
⋅ ⋅
==== ; г)
()
666
55 5 5
12 12 12
12
34 12 34
= ==
⋅ ⋅
.
№ 243
а)
84 59
15 4 4 4
()()
()()
xx
xx
⋅
⋅
= 5;
84 59
15 4 4 4
5
x
x
⋅+⋅
⋅+⋅
= ;
32 45
60 16
5;
x
x
+
+
=
77
76
5
x
x
= ; x = 5.
б)
17 23
83 5 25
() ()
xx
xxx
⋅
⋅⋅
=104;
17 23
83 5 25
104
x
x
+
⋅++⋅
= ;
40
24 5 10
104
x
x
++
= ;
40
39
104
x
x
= ; x=104.
в)
45 2 40 2
54 11
():()
1347
():
xx
xx
= ;
45 2 40 2
54 11
1347
x
x
⋅− ⋅
⋅−
= ;
90 80
20 11
1347
x
x
−
−
= ;
10
9
1347
x
x
= ; x=1347.
г)
51 2 14 7
300 25 4
()()
349
:( )
xxx
xx
⋅⋅
= .
51 2 14 7 1
300 25 4
349
x
x
⋅+ ⋅+
−⋅
= ;
102 98 1
300 100
349
x
x
++
−
= ;
201
200
349
x
x
= ; x=349.