- •Глава 1. Математическая модель,
- •§ 1. Числовые и алгебраические выражения
- •§ 2. Что такое математический язык
- •§ 3. Что такое математическая модель
- •Глава 2. Степень с натуральным
- •§ 4. Что такое степень с натуральным показателем
- •§ 5. Таблица основных степеней
- •§ 6. Свойства степеней с натуральными показателями
- •§ 7. Умножение и деление степеней
- •§ 8. Степень с нулевым показателем
- •Глава 3. Одночлены. Операции над одночленами
- •§ 9. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена
- •§ 10. Сложение и вычитание одночленов
- •§ 11. Умножение одночленов.
- •§ 12. Деление одночлена на одночлен
- •Глава 4. Многочлены.
- •§ 13. Основные понятия
- •§ 14. Сложение и вычитание многочленов
- •§ 15. Умножение многочлена на одночлен
- •§ 16. Умножение многочлена на многочлен
- •§ 17. Формулы сокращенного умножения
- •§ 18. Деление многочлена на одночлен
- •Глава 5. Разложение многочленов на множители
- •§ 19. Что такое разложение многочленов
- •§ 20. Вынесение общего множителя за скобки
- •§ 21. Способ групировки
- •§ 22. Разложение многочлена на множители
- •§ 23. Разложение многочлена на множители
- •§ 24. Сокращение алгебраических дробей
- •§ 25. Тождества
- •Глава 6. Линейная функция
- •§ 26. Координатная прямая
- •§ 27. Координатная плоскость
- •§ 28. Линейное уравнение
- •§ 29. Линейная функция и ее график
- •§ 30. Прямая пропорциональность и ее график
- •§ 31. Взаимное расположение графиков линейных функций
- •§ 33. Графическое решение уравнений
- •Глава 8. Системы двух линейных
- •§ 35. Основные понятия
- •§ 36. Метод подстановки
- •§ 37. Метод алгебраического сложения
- •§ 38. Системы двух линейных уравнений
§ 21. Способ групировки
№ 575
а) 2x – x
2
= x(2 – x); – 3ax + 2x
2
= x(2x – 3a);
2ax
2
– 3a2
x = ax(2x – 3a); 4xy – 2x
2
y = 2xy(2 – x).
Ответ: 2x – x
2
, 4xy – 2x
2
y; 2x
2
– 3ax, 2ax
2
– 3a2
x.
б) ab – 3b2
= b(a – 3b); a2
– 3ab = a(a – 3b);
5 + 10x = 5(1 + 2x); a + 2ax = a(1 + 2x).
Ответ: ab – 3b2
, a2
– 3ab; 5 + 10x, a + 2ax.
в) n2
– nm = n(n – m); 6a2
– 9ab = 3a(2a – 3b);
mn – n2
= n(m – n); 2ab – 3b2
= b(2a – 3b).
Ответ: 6a2
– 9ab, 2ab – 3b2
.
г) 4x – 8 = 4(x – 2); x
2
– 2x = x(x – 2);
–5 – 15m = – 5(m + 3); 21mn + 7n = 7n(3m + 1).
Ответ: 4x – 8, x
2
– 2x.
№ 576
а) 2by – bz = b(2y – z); 4ax – az = a(4x – z);
2ay – az = a(2y – z); 4bx – bz = b(4x – z).
Ответ: 2by – bz, 2ay – az; 4ax – az, 4bx – bz.
б) 6ax – 3x = 3x(2a – 1); – 2a – 1;
3by – 3y = 3y(b – 1); c – cb = c(1 – b).
Ответ: таких двучленов нет.
в) a3
– 2a2
= a2
(a – 2); 4ab – 2a2
b = 2ab(2 – a);
5ac
2
– 10ac = 5ac(c – 2); 3a – 6 = 3(a –2).
Ответ: a3
– 2a2
, 3a – 6.
г) 3mn2
– 6m2
n = 3mn(n – 2m); abn – 2abm = ab(n – 2m);
a2
x
3
– 9a2
x = a2
x(x
2
– 9); 9x
2
– x
4
= x
2
(9 – x
2
).
Ответ: 3mn2
– 6m2
n, abn – 2abm.
№ 577
а) 3a + 3 – na – n = 3(a + 1) – n(a +1) = (a + 1)(3 – n);
б) 6mx – 2m + 9x – 3 = 2m(3x – 1) + 3(3x – 1) = (2m + 3)(3x – 1);
в) ax – 3x – 4a + 12 = x(a – 3) – 4(a – 3) =(x – 4)(a – 3);
г) 2mx – 3m – 4x + 6 = m(2x – 3) – 2(2x – 3) = (m – 2)(2x – 3).
№ 578
а) 7kn – 6k +14n – 12 = k(7n – 6) + 2(7n – 6) = (k + 2)(7n – 6);
б) 5a2
– 5ax – 7a + 7x = 5a(a – x) – 7(a – x) = (5a – 7)(a – x); 94
в) 9m2
– 9mn – 5m + 5n = 9m(m – n) – 5(m – n) = (9m – n)(m – n);
г) 6a2
– 2ab – 3ac + bc = 2a(3a – b) – c(3a – b) = (2a – c)(3a – b).
№ 579
а) 7c
2
– c – c
3
+ 7 = c
2
(7 – c) + 7 – c = (c
2
+1)(7 – c);
б) x
3
+ 28 – 14x
2
– 2x = x(x
2
– 2) – 14(x
2
– 2) = (x – 14)(x
2
– 2);
в) 2b3
– 6 – 4b2
+ 3b = 2b2
(b – 2) + 3(b – 2) = (2b3
+ 3)(b – 2);
г) x
3
– 6 + 2x – 3x
2
= x
2
(x – 3) + 2(x – 3) = (x
2
+ 2)(x – 3).
№ 580
а) 16ab2
+5b2
c+10c
3
+32ac
2
=16a(b2
+2c
2
)+5c(b2
+2c
2
) = (16a + 5c)(b2
+ 2c
2
);
б) 18a2
+27ab + 14ac + 21bc = 9a(2a + 3b) + 7c(2a + 3b)=(9a+7c)(2a + 3b);
в) 20n2
– 35a – 14an + 50n = 10n(2n + 5) – 7a(2n + 5) = (10n – 7a)(2n + 5);
г) 2x
2
yz–15yz–3xz
2
+10xy
2
= xz(2xy – 3z) + 5y(2xy – 3z) = (xz + 5y)(2xy – 3z).
№ 581
ax – 2a – 3x + 6 = x(a – 3) – 2(a – 3) = (x – 2)(a – 3);
а) 4; б) 0; в) – 2,25; г) 0.
№ 582
2a + b + 2a2
+ ab = (2a + b) + a(2a + b) = (2a + b)(a + 1);
а) (– 2 + 998)(– 1 + 1) = 0;
б) (91 – 3)(45,5 + 1) = 46,5 · 88 = 4092;
в) (2 · 7,4 + (– 2))(7,4 + 1) = 12,8 · 8,4 = 107,52;
г)
2
18
3
⎛⎞
−+ ⎜⎟
⎝⎠
(– 0,5 + 1) = 7
2
3
· 0,5 =
23 1 5
3
32 6
⋅= .
№ 583
5ab – 7b + 5a2
– 7a = b(5a – 7) + a(5a – 7) = (a + b)(5a – 7);
а) (0,2+1)(1 – 7) = 1,2 · (– 6) = – 7,2; б) (2,5–0,5)(12,5 – 7) = 2 · 5,5 = 11;
в) (3,7 – 3,7)(5 · 3,7 – 7) = 0; г) ((1,4 + 11)(7 – 7) = 0.
№ 584
а) 40a3
b2
c + 21bc – 56ac
2
– 15a2
b3
= 8ac(5a2
b2
– 7c) + 3b(7c – 5a2
b2
) =
= (8ac – 3b)(5a2
b2
– 7c);
б) 16xy
2
–5y
2
z–10z
3
+32xz
2
= 16x(y
2
+ 2z
2
) – 5z(y
2
+ 2z
2
)=(16x – 5z)(y
2
+ 2z
2
);
в) 30x
2
+ 10c – 25cx – 12x = 5x(6x – 5c) + 2(5c – 6x) = (5x – 2)(6x – 5c);
г) 18x
2
z – 10kxy + 20k
2
y – 36kxz = 18xz(x – 2k) – 10ky(x – 2k) =
= (18xz – 10ky)(x – 2k) = 2(9xz – 5ky)(x – 2k).
№ 585
а) ax
2
–ay–bx
2
+ cy + by – cx
2
= a(x
2
–y)–b(x
2
–y)– c(x
2
– y)=(x
2
– y)(a – b – c);
б) xy
2
–by
2
– ax + ab + y
2
– a = x(y
2
– a) – b(y
2
– a)+y
2
–a=(y
2
– a)(x – b + 1);
в) ax + bx + cx + ay + by + cy = (x + y)(a + b + c);
г) ab – a2
b2
+ a3
b3
– c + abc – ca2
b2
=
= ab(1 – ab +a2
b2
) – c(1 – ab + a2
b2
) = (ab – c)(1 – ab + a2
b2
). 95
№ 586
21a2
b – 4b – 12a + 7ab2
= 7ab(3a + b) – 4(b + 3a) = (3a + b)(7ab – 4);
а) (– 1 + 2)
14
4
3
⎛⎞
−− ⎜⎟
⎝⎠
=
14 12 26 2
18
333
−− ⎛⎞
⋅=−=− ⎜⎟
⎝⎠
;
б) ()
1
12 4 4
7
⎛⎞
+− ⎜⎟
⎝⎠
=0;
в)
8181 81
3743
7272 72
⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞
⋅+ ⋅⋅ − = ⋅+ ⋅
⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟
⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠
(4 – 4) = 0;
г) (– 2 + 3)
2
37 4
3
⎛⎞
−⋅⋅− ⎜⎟
⎝⎠
= 1 · (– 14 – 4) = – 18.
№ 587
а) 2,7 · 6,2 – 9,3 · 1,2 + 6,2 · 9,3 – 1,2 · 2,7 =
= 2,7(6,1 – 1,2) – 9,3(1,2 – 6,2) = (6,2 – 1,2)(2,7 + 9,3) = 12 · 5 = 60;
б) 125 · 48 – 31 · 82 – 31 · 43 – 125 · 83 = 125(48 – 83) – 31(82 + 53) =
= 125(48 – 83 – 31) = 125 · (– 66) = – 8250;
в) 14,9 · 1,25 + 0,75 · 1,1 + 14,9 · 0,75 + 1,1 · 25 =
= 14,9(1,25 + 0,75) + 1,1(25 + 0,75) = 14,9 · 2 + 1,1 · 25,72 =
= 29,8 + 28,325 = 58,125;
г) ()
11 2 14 22 11 4
3 4 4,2 3 2 2,8 2,8 4,2 3 4 2
35 3 35 33 35 5
⎛⎞
⋅+⋅+⋅+⋅= + + + = ⎜⎟
⎝⎠
11
37377428
33
=⋅+⋅=⋅= .
№ 588
а) 109 · 9,17 – 5,37 · 72 – 37 · 9,17 + 1,2 · 72 =
= 9,17(109 – 37) – 72(5,37 – 1,2) = 9,17 · 72 – 72 · 4,17 = 72 · 5 = 360; б)
19,9 · 18 – 19,9 · 16 + 30,1 · 18 – 30,1 · 16 =
= (19,9 + 30,1)(18 – 16) = 50 · 2 = 100;
в) 15,5 · 20,8 + 51,5 · 9,2 – 3,5 · 20,8 – 3,5 · 9,2 =
= 15,5(20,8 + 9,2) – 3,5(20,8 + 9,2) = 30 · 12 = 360;
г) 77,3 · 13 + 8 · 37,3 – 77,3 · 8 – 13 · 37,3 =
= 13(77,3 – 37,3) + 8(37,3 – 77,3) = 40 · 5 = 200.
№ 589
а) x
2
+ 6x + 8 = x
2
+ 2x + 4x + 8 = x(x + 2) + 4(x + 2) = (x + 4)(x + 2);
б) x
2
– 8x + 15 = x
2
– 3x – 5x + 15 = x(x – 3) – 5(x – 3) = (x – 5)(x – 3);
в) x
2
+ 3x + 2 = x
2
+ x + 2x + 2 = x(x + 1) + 2(x + 1) = (x + 2)(x + 1);
г) x
2
– 5x + 6 = x
2
– 2x – 3x + 6 = x(x – 2) – 3(x – 2) = (x – 2)(x – 3).
№ 590
а) a2
– 7a + 6 = a2
– a – 6a + 6 = a(a – 1) – 6(a – 1) = (a – 6)(a – 1);
б) b2
+ 9b – 10 = b2
– b + 10b – 10 = b(b – 1) + 10(b – 1) = (b – 1)(b + 10); 96
в) y
2
– 10y + 24 = y
2
– 4y – 6y + 24 = y(y – 4) – 6(y – 4) = (y – 6)(y – 4);
г) z
2
– 18z – 40 = z
2
+ 2z – 20z – 40 = z(z + 2) – 20(z + 2) = (z – 20)(z + 2).
№ 591
а) a2
+ 8ab – 9b2
= a2
+ ab – 9ab – 9b2
= a(a + b) – 9b(a+b)=(a – 9b)(a + b);
б) a2
+ 16ab + 55b2
= a2
+ 5ab + 11ab + 55b2
=
= a(a + 5b) + 11b(a + 5b) = (a +11b)(a + 5b);
в) x
2
+ 4xy – 12y
2
= x
2
– 2xy + 6xy – 12y
2
=
= x(x – 2y) + 6y(x – 2y) = (x + 6y)(x – 6y);
г) x
2
+ 16xy + 39y
2
= x
2
+ 13xy + 3xy + 39xy
2
=
= x(x + 3y) + 13y(x + 3y) = (x + 13y)(x + 3y).
№ 592
а) x
2
– 3x + 2 = 0; б) x
2
+ 8x + 15 = 0;
x
2
– x – 2x + 2 =0; x
2
+ 3x + 5x + 15 = 0;
x(x – 2) – (x – 2) =0; x(x + 3) + 5(x + 3) = 0;
(x – 1)(x – 2) =0; (x + 3)(x + 5) = 0;
x = 1; x = – 3;
x = 2. x = – 5.
Ответ: 1; 2. Ответ: – 3; – 5.
в) x
2
– 6x + 8 =0; г) x
2
– 3x – 4 = 0;
x
2
– 2x – 4x + 8 =0; x
2
+ x – 4x – 4 = 0;
(x – 2)(x – 4) = 0; (x – 4)(x + 1) = 0;
x = 2; x = 4;
x = 4. x = – 1.
Ответ: 2; 4. Ответ: 4; – 1.
№ 593
а) 2x
2
– 5x + 2 = 0; б) 3x
2
+ 10x + 3 = 0;
2x
2
– 4x – x + 2 = 0; 3x
2
+ 9x + x + 3 = 0;
2x(x – 2) – (x – 2) = 0; 3x(x + 3) + (x + 3) = 0;
(2x – 1)(x – 2) = 0; (3x + 1)(x + 3) = 0;
x =
1
2
; x = 2. x = –
1
3
; x = – 3.
Ответ:
1
2
; 2. Ответ: –
1
3
; – 3.
в) 4x
2
+ 5x – 6 =0; г) 3x
2
– x – 2 = 0;
4x
2
+ 8x – 3x – 6 = 0; 3x
2
– 3x + 2x – 2 = 0;
4x(x + 2) – 3(x + 2) = 0; 3x(x – 1) + 2(x – 1) = 0;
(4x – 3)(x + 2) = 0; (3x + 2)(x – 1) = 0;
x =
3
4
; x = – 2. x = –
2
3
; x = 1.
Ответ:
3
4
; – 2. Ответ: –
2
3
; 1. 97