§ 28. Линейное уравнение

с двумя переменными и его график

№ 803

а) да; б) да; в) да; г) да.

№ 804

а) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя пере-

менными, потому что задействована только одна переменная;

б) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя пере-

менными, потому что задействована только одна переменная;

в) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя пере-

менными, потому что в нем есть одночлен второй степени;

г) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя пере-

менными, потому что в нем есть одночлен второй степени.

№ 805

а) нет; б) да; в) нет; г) нет.

№ 806

а) да; б) нет; в) нет; г) да.

№ 807

а) (6; 2); (0; 20); (4; 8); б) (2, 0); (2,5; 2,5).

№ 808

а) ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

5

2

; 0 ; (3; –1); б) (8, –12); в) (2, –1); (5, 20); г) (–18, –4); (9, –1).

№ 809

а) В одной корзине х яблок, а в другой y яблок. Если их высыпать на

стол и взять со стола 10 яблок, то на столе будет пусто.

б) В магазине есть в продаже x курток. Если один покупатель купит y

курток, а затем придет другой и купит еще 3 куртки, то в магазине кур-

ток не останется.

в) В раздевалке находится х спортсменов. Если y спортсменов уйдут

домой, а 8 спортсменов в душ, то раздевалка опустеет.

г) На фирме x управляющих и y служащих. Если с фирмы уйдут 12 че-

ловек, то на фирме никого работать не останется.

№ 810

M: 5 + 14 – 7 = 0 – неверно, значит точка М не принадлежит графику

уравнения x + 2y – 7 = 0;

N: 0 + 7 – 7 = 0 – верно, значит точка N принадлежит графику уравнения

x + 2y – 7 = 0;

K: 7 + 0 – 7 = 0 – верно, значит точка K не принадлежит графику урав-

нения x + 2y – 7 = 0;

L: 2 + 6 – 7 = 0 – неверно, значит точка L не принадлежит графику урав-

нения x + 2y – 7 = 0.

149

№ 811

2

7

3

+5

7

4

–8=8–8=0 – верно, значит, точка ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

7

4

5 ,

7

3

2 является решением

уравнения x + y – 8 = 0; x + y – 8 = 0; y = 8 – x.

Можно взять следующие решения : (1, 7); (2, 6); (3, 5).

№ 812

а) x + y – 5 = 0, y = 5 – x; б) x – y = 0, y = x;

в) 2x + y – 7 = 0, y = 7 – 2x; г) x + 3y + 7 = 0, y = –

3

7 х +

.

№ 813

а) 3x + 2y – 6 = 0; 2y – 6 = 0; y = 3. Ответ: 3.

б) 5x – 7y – 14 = 0; 7y = –14; y = –2. Ответ: –2.

в) 15x – 25y – 75 = 0; 25y = –75; y = –3. Ответ: – 3.

г) 81x – 15y – 225 = 0; 15y = –225; y = – 15. Ответ: – 15.

№ 814

а) 8x + 6y – 11 = 0; 8 + 6y – 11 = 0; 6y = 3; y =

2

1

. Ответ:

2

1

б) 11x + 13y – 16 = 0; 55 + 13y – 16 = 0; 13y = –39. y = – 3. Ответ: –3

в) 19x – 11y – 24 = 0; 57 – 11y – 24 = 0; 11y = 33; y = 3. Ответ: 3.

г) 3x + 2y + 30 = 0; –24 + 2y + 30 = 0; 2y = –6; y = – 3. Ответ: –3.

№ 815

а) 6x + 2y – 1 = 0; –0,6 + 2y – 1 = 0; 2y = 1,6; y = 0,8. Ответ: 0,8.

б) 7x – y – 4 = 0; –15 – y – 4 = 0; y = – 19. Ответ: – 19.

в) 3x + 5y – 10 = 0; 1,5 + 5y – 10 = 0; 5y = 8,5; y = 1,7. Ответ: 1,7.

г) 9x – 2y – 3 = 0; 74 – 2y – 3 = 0; 2y = 71; y =

2

71

. Ответ: 30,5.

№ 816

а) 6x + 12y – 42 = 0; 6x – 42 = 0; x = 7. Ответ: 7.

б) 17x – 5y + 85 = 0; 17x + 85 = 0; x = –5. Ответ: –5.

в) 8x – 35y = 96; 8x = 96; x = 12. Ответ: 12.

г) 16x + 54y = 64; 16x = 64; x = 4. Ответ: 4.

№ 817

а) 4x + 7y – 12 = 0; 4x – 28 – 12 = 0; 4x = 40; x = 10. Ответ: 10.

б) 23x – 9y + 5 = 0; 23x + 18 + 5 = 0; 23x = – 23; x = –1. Ответ: –1.

в) 5x – 3y – 11 = 0; 5x – 9 – 11 = 0; 5x = 20; x = 4. Ответ: 4.

г) 2x + 4y + 9 = 0. 2x + 13 = 0; 2x = –13; x = –6,5. Ответ: –6,5

№ 818

а) 6x + 3y – 2 = 0; 6x + 10 – 2 = 0; 6x = – 8; x = –

6

8

. Ответ: –1

3

1

.

б) 3,5x – 5y – 1 = 0; 3,5x – 2,5 – 1 = 0; 3,5x = 3,5; x = 1. Ответ: 1.

150

в) 4x – 2y + 11 = 0; 4x + 3 + 11 = 0; 4x = – 14; x = –

2

7

. Ответ: –3,5.

г) 8x + 5y – 3 = 0; 8x + 22 – 3 = 0; 8x = – 19; x = –

8

19

. Ответ: –2

8

3

.

№ 819

а) 21 – 3y – 12 = 0; 3y = 9; y = 3. Ответ: 3.

б) 11x + 42 – 31 = 0; 11x = – 11; x = – 1. Ответ: – 1.

№ 820

а) x + y – 4 = 0; б) 2x – y + 5 = 0;

y = 4 – x; y = 2x – 5;

X 0 4 X 0 2

Y 4 0 Y –5 –1

x

y

-8 -4 4 8

-8

-4

4

8

0

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

в) x + 2y – 3=0; г) –x – y + 6 = 0;

y =

2

3 х −

; y = 6 – x.

X 1 3 X 3 6

Y 1 0 Y 3 0

x

y

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

0

x

y

-6 -3 3 6

-3

3

6

0

151

№ 821

а) 5x + 3y – 15 = 0; б) 7x – 4y + 28 = 0;

y =

3

5 15 х −

; y =

4

28 7 + х

;

X 0 3 X 0 –4

Y 5 0 Y 7 0

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

x

y

-4 -2 2 4

-14

-7

7

14

0

в) 6x + 3y + 18 = 0; г) 8x – 3y – 24 = 0;

2x + y + 6 = 0; y =

3

24 8 − х

.

y = –6 – 2x;

X –3 0 X 3 0

Y 0 –6 Y 0 –8

x

y

-6 -3 3 6

-6

-3

3

6

0

x

y

-6 -3 3 6

-8

-4

4

8

0

152

№ 822

а) 7t + 9s + 63 = 0; б) 3t – 4s – 12 = 0;

s =

9

7 63 t − −

; s =

4

12 3 − t

;

t –9 0 t 4 0

s 0 –7 s 0 –3

t

s

-18 -9 9 18

-14

-7

7

14

0

t

s

-8 -4 4 8

-6

-3

3

6

0

в) 5t – 2s = 10; г) 4t + 9s + 36 = 0;

s =

2

5 10 t −

; s =

9

4 36 t − −

.

t 2 0 t –9 0

s 0 5 s 0 –4

t

s

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

0

t

s

-18 -9 9 18

-8

-4

4

8

0

№ 823

а) 30 – 22 = 8 и 60 + 14 = 74, т.е. прямые пересекаются;

б) –12 + 14 = 2 и –4 + 10 = 6, т.е. прямые пересекаются.

153

№ 824

а) x – y = – 1 и 2x + y = 4; y = x + 1 и y = 4 – 2x.

Чтобы найти точку пересечения этих прямых приравняем y.

x + 1 = 4 – 2x; x = 1; y = x + 1 = 2.

Ответ: (1; 2)

б) 4x + 3y = 6 и 2x + y = 4; y =

3

4 6 х −

и y = 4 – 2x.

Чтобы найти точку пересечения этих прямых приравняем y.

3

4 6 х −

= 4 – 2x; 6 – 4x = 12 – 6x; x = 3; y = 4 – 2 · 3 = – 2.

Ответ: (3; –2).

№ 825

а) 3a + 8b = 24; 3a + 8b = 24; б) 6с + 5d = 30; 6с + 5d = 30;

3a = 24 – 8b; 8b = 24 – 3a; 6c = 30 – 5d; 5d = 30 – 6c;

a =

3

8 24 b −

; b =

8

3 24 a −

; c =

6

5 30 d −

; d =

5

6 30 c −

;

в) 12m – 3n = 48; 12m – 3n = 48; г) 7x – 8y = 56; 7x – 8y = 56;

4m – n = 16; 4m – n = 16; 7x = 56 + 8y; 8y = 7x – 56;

m =

4

16 n +

; n = 4m – 16; x =

7

56 8 + y

; y =

8

56 7 − х

.

№ 826

а) 3t – 2z + 6 = 0; 3t – 2z + 6 = 0; б) 7s + 9t – 63 = 0; 7s + 9t – 63 = 0;

3t = 2z – 6; 2z = 3t + 6; 7s = 63 – 9t; 9t = 63 – 7s;

t =

3

6 2 − z

; z =

2

6 3 + t

; s =

7

9 63 t −

; t =

9

7 63 s −

;

в) 11u+2v+22=0; 11u+2v+22=0; г) 25r–4w–100=0; 25r–4w–100=0;

11u = – 22 – 2v; 2v=–22–11u; 25r = 4w + 100; 4w = 25r – 100;

u = –

11

2 22 v −

; v = –

2

11 22 u −

; r =

25

100 4 + w ; w =

4

100 25 − r

.

№ 827

а) x + 3y – 20 = 0; x = 20 – 3y.

Для того чтобы пара чисел состояла из двух одинаковых чисел,

нужно чтобы x = y: x = 20 – 3x; x = 5; y = x = 5. Ответ: (5; 5).

б) Пусть х = 2y, тогда уравнение примет вид 2y + 3y – 20 = 0;

5y = 20; y = 4; x = 2y = 2 · 4 = 8. Ответ: (8; 4).

№ 828

ax+5y–40=0.

а) (3;2) Подставим эти значения в исходное уравнение:

a⋅3+5⋅2–40 = 0. Получаем ур-е, относительно a: 3a=30; a=3. Ответ: а=3.

154

б) (9;–1) Подставим эти значения в исходное уравнение:

a ⋅ 9 + 5 ⋅ (–1) – 40 = 0. Получаем ур-е, относительно a: 9a=45; a=5.

Ответ: a = 5.

в) ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

0 ;

3

1

Подставим эти значения в исходное уравнение:

a ⋅ ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

3

1

+ 5 ⋅ 0 · 40 = 0. Получаем ур-е, относительно a:

3

а

= 40; a=120.

Ответ: a = 120.

г) (–2; 2,4) Подставим эти значения в исходное уравнение:

a ⋅ (–2) + 5 ⋅ 2,4 – 40=0.

Получаем ур-е, относительно a: –2a = 28; a = –14. Ответ: a = –14.

№ 829

а) b – 35 = 0; b = 35;

б) 18 + 8,5y – 35 = 0; 8,5b = 17; b = 2;

в) 2 + 11b – 35; 11b = 33; b = 3;

г) – 30 – 13b – 35 = 0; 13b = – 65; b = –5.

№ 830

а) 16 – 3 – c = 0; c = 13; б) 25 – 13 – c = 0; c = 12;

в) 1 – 2 – c = 0; c = –1; г) –c = 0. c = 0.

№ 831

а) 12 – 2m = 0; m = 6;

б) 2m + 2 – 12m = 0; – 10m = – 2; m =

5

1

;

в) 12m – 12m = 0; 0 = 0; При любом m

г) –m + 13 – 12m = 0; 13m = 13; m = 1.

№ 832

Пусть х – первое число.

Тогда (5 – х) – второе число.

x – (5 – x) = 1; x – 5 + x = 1; x=3 – первое число; 5 – 3 = 2 – второе число.

Ответ: 3; 2.

№ 833

Пусть х – первое число.

Тогда (7 – х) – второе число.

2x + 7 – x = 8; x = 1 – первое число; 7 – 1 = 6 – второе число.

Ответ: 1; 6.

№ 834

Пусть х – первое число.

Тогда (х – 1) – второе число.

x + 3(x – 1) = 9; 4x = 12; x = 3 – первое число; 3 – 1 = 2 – второе число.

Ответ: 3; 2.

155

№ 835

Пусть х – вычитаемое.

Тогда 4х – уменьшаемое.

4x – x = 3; x = 1 – вычитаемое; 4 ⋅ 1 = 4 – уменьшаемое.

Ответ: 1; 4.

№ 836

Пусть х – девочек участвовало в турнире.

Тогда 1,5х – мальчиков участвовало в турнире.

1,5x + x = 10; x = 4 – девочек участвовало в турнире;

1,5 ⋅ 4 = 6 – мальчиков участвовало в турнире.

Ответ: 4; 6.

№ 837

Пусть х – лет сестре. Тогда (х + 2) – лет брату.

х + х + 2 = 14; 2x = 12; x = 6 – лет сестре; 6 + 2 = 8 – лет брату.

Ответ: 6; 8.

№ 838

Пусть х – синиц сидело на ветке.

Тогда 2х – воробьев сидело на ветке.

х + 2х = 9; x = 3 – синиц сидело на ветке;

2 ⋅ 3 = 6 – воробьев сидело на ветке.

Ответ: 3; 6.

№ 839

Пусть х – мальчиков учится в седьмых классах.

Тогда 1,3х – девочек учится в седьмых классах.

1,3x – x = 12; 0,3x = 12;

x = 40 – мальчиков учится в седьмых классах.

Найдем сколько учеников учится в седьмых классах:

1,3х + х = 2,3х = 2,3 ⋅ 40 = 92 – ученика учится в седьмых классах.

Ответ: 92.

№ 840

Пусть х – человек занимается в историческом кружке.

Тогда (х + 7) – человек занимается в математическом кружке.

x + x + 7 = 35; 2x = 28;

x = 14 – человек занимается в историческом кружке;

14 + 7 = 21 – человек занимается в математическом кружке.

Ответ: 14; 21.

№ 841

Пусть х – первое число. Тогда 4х – второе число.

x + 4x = 52,5; 5x = 52,5;

x = 10,5 – первое число; 4 ⋅ 10,5 = 42 – второе число.

Ответ: 10,5; 42.

156

№ 842

Пусть х – первое число.

Тогда

87

100 ⋅ х

– второе число.

87

100

x – x = 3,9;

87

13

x = 3,9; x = 0,3 ⋅ 87;

x = 26,1 – первое число; 26,1 ⋅

87

100

= 30 – второе число.

Ответ: 26,1; 30.

№ 843

Пусть х – первое число. Тогда

124

100

х – второе число.

x +

124

100

x = 112;

124

224

x = 112;

x = 62 – первое число; 62 ·

124

100

= 50 – второе число. Ответ: 50; 62.

№ 844

а) Подставим данную пару в уравнение и решим его относительно p

p2

– 6p + 8 = 0; p2

– 2p – 4p + 8 = 0; (p – 4)(p – 2) = 0; p = 4 или p = 2.

Ответ: при p = 2 или при p = 4

б) Подставим данную пару в уравнение и решим его относительно p

–p2

+ 2p + 8 = 0; –p2

– 2p + 4p + 8 = 0; (4 – p)(p + 2) = 0; p=4 или p = – 2.

Ответ: при p = –2 или при p = 4

№ 845

а) x

2

– y

2

= 0. (x – y)(x + y) = 0; б) x

2

= 4y

2

; (x – 2y)(x + 2y) = 0;

x = y или x = –y; y =

2

х

или y = –

2

х

;

x

y

-8 -4 4 8

-8

-4

4

8

0

x

y

-8 -4 4 8

-8

-4

4

8

0

157

в) y

2

= 9x

2

; (y – 3x)(y + 3x) = 0; г) 16x

2

–25y

2

=0; (4x–5y)(5y + 4x)=0;

y = 3x или y = – 3x; y =

5

4

x или y = –

5

4

x.

x

y

-6 -3 3 6

-6

-3

3

6

0

x

y

-10 -5 5 10

-8

-4

4

8

0

№ 846

а) x

2

– 6xy + 8y

2

= 0; б) 2x

2

+ 5xy + 2y

2

= 0;

x

2

– 6xy + 9y

2

– y

2

; x

2

+ 2,5xy + y

2

= 0;

(x – 3y)

2

– y

2

; x

2

+ 2,5xy + 1,5625y

2

– 0,5625y

2

= 0;

(x – 4y)(x – 2y) = 0; (x + 1,25y)

2

– (0,75y)

2

= 0;

y =

4

1

x или y = –

4

1

x; (x + 0,5y)(x + 2y) = 0; y = – 2x; y=–

2

1

x;

x

y

-16 -8 8 16

-2

2

4

0

x

y

-4 -2 2 4

-2

2

4

0

x

y

-4 -2 2 4

-2

2

4

0

в) x

2

+ xy – 2y

2

;

x

2

+ xy + 0,25y

2

– 2,25y

2

;

(x + 0,5y)

2

– (1,5y)

2

;

(x – y)(x + 2y) = 0;

y = x;

или y = –

2

х

;

158

г) 3x

2

– 10xy + 3y

2

;

4x

2

– 8xy + 4y

2

– x

2

– y

2

– 2xy = 0;

(2x – 2y)

2

– (x + y)

2

= 0;

(x – 3y)(3x – y) = 0;

y =

3

1

x;

или y = 3x.

x

y

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

0