1.3.3. Отражение ударной волны от жесткой стенки в совершенном газе
Рис.
1.10.
Пусть стенка неподвижна. Тогда граничное условие “прилипания” дает
, 
.
В неподвижной системе координат соотношения на разрыве имеют вид:
(3.3.1)
Представим
выражение
в виде
. (3.3.2)
Выразим
из первого соотношения (3.3.1), предварительно
заменив в нем выражение
согласно (3.3.2). В результате получим
. (3.3.3)
Подставляя (3.3.3) во второе соотношение (3.3.1), найдем
, (3.3.4)
или
. (3.3.5)
Это соотношение можно применить как к падающей (1), так и к отраженной волне (2) с учётом граничного условия.
Падающая
волна:
,
отраженная
волна:
. (3.3.6)
Приравнивая выражения (3.3.6) друг к другу, получим
. (3.3.7)
В
выражении (3.3.7) справа вынесем за скобки
,
а слева –
,
тогда
. (3.3.8)
Запишем уравнения ударной адиабаты для падающей и отраженной волны:
,
. (3.3.9)
Подставим (3.3.9) в (3.3.8), после преобразований получим
(3.3.10)
Уравнение
(3.3.10) относительно
имеет два корня. Первый корень –
.
Очевидно, он не подходит. Для нахождения
второго корня сделаем следующие
преобразования:
тогда из (3.3.10) следует, что
или
откуда
.
Приводя
в последнем выражении все члены, кроме
,
к общему знаменателю и поделив полученное
выражение на
,
найдем второй корень
. (3.3.11)
Рассмотрим
предельные случаи. Если ударная волна
слабая
,
то давление за скачком можно искать в
виде
,
где
– малая величина,
.
Подставим
в (3.3.11) и пренебрежем степенями
выше первой:
(3.3.12)
Это означает, что отражение возмущения происходит так же, как в акустическом случае:
. (3.3.13)
В
случае сильных волн (
)
из (3.3.11) следует
.
Например,
для воздуха
,
поэтому ударная волна при отражении от
преграды усиливается не более, чем в 8
раз.
1.3.4. Отражение ударной волны от жесткой стенки в жидкости и пузырьковой жидкости
Отражение ударной волны от преграды в жидкости. Постановка этой задачи аналогична постановке задачи, описанной в предыдущем пункте. Выражение (3.3.7) остается справедливым. Запишем акустическое уравнение состояния жидкости
.
Применим его к падающей и отраженной ударным волнам:
(3.4.1)
Разделим второе уравнение из (3.4.1) на первое:
. (3.4.2)
С другой стороны из (3.3.7) следует
. (3.4.3)
Представим
в виде
. (3.4.4)
Тогда из (3.4.3), используя (3.4.4), получим
. (3.4.5)
Учитывая (3.4.2), из (3.4.5) найдем
,
или
. (3.4.6)
Из (3.4.6) следует, что амплитуда отраженной ударной волны равна амплитуде падающей:
, (3.4.7)
. (3.4.8)
Отражение ударной волны от жесткой стенки в пузырьковой жидкости. Используем уравнение состояния пузырьковой жидкости (1.1.20)
. (3.4.9)
В
безразмерной форме
оно перепишется так:
. (3.4.10)
Применим его к падающей и отраженной ударным волнам:
,
. (3.4.11)
Используя
связь
,
из (3.4.11) получим
,
. (3.4.12)
Разделим второе уравнение (3.4.12) на первое:
. (3.4.13)
С другой стороны из (3.4.7) следует
. (3.4.14)
Из (3.4.13) и (3.4.14) легко получить следующее соотношение для давления в отраженной волне
. (3.4.15)
Следовательно,
,
или
. (3.4.16)
Отсюда следует, что в силу физической нелинейности пузырьковой жидкости отраженная ударная волна усиливается при отражении гораздо значительнее, чем в чистой жидкости. Рассмотрим предельные случаи слабой и сильной ударной волны.
1).
Слабая ударная волна:
Тогда
или
т. е. решение совпадает с акустическим.
2).
Сильная ударная волна. Здесь следует
иметь в виду ограниченность формулы
(3.4.16), связанную с необходимостью учёта
сжимаемости жидкости. Формулой (3.4.16)
можно пользоваться, пока
,
где
– скорость звука в жидкости.
Заметим, что
решение для совершенного газа (3.3.11) при
совпадает с решением для пузырьковой
жидкости (3.4.16).
Для наглядности
можно построить на одном и том же рисунке
кривые, выражающие зависимости
от
для газа, жидкости и пузырьковой жидкости.