- •1. Равновесная газожидкостная система
- •1.1. Уравнение состояния и скорость звука
- •1.1.1. Уравнение состояния пузырьковой жидкости в термодинамически равновесном приближении
- •1.1.2. Уравнение состояния пузырьковой жидкости в термодинамически равновесном приближении с учетом сжимаемости несущей фазы
- •1.1.3. Уравнение состояния пузырьковой жидкости в термодинамически равновесном приближении с учетом поверхностного натяжения
- •1.1.4. Скорость звука в жидкости, газе и пузырьковой жидкости
- •1.2. Соотношения на разрыве
- •1.2.1. Соотношения на разрыве в подвижной и неподвижной системе координат
- •1.2.2. Адиабата. Ударная адиабата
- •1.2.3. Скорость ударной волны
- •1.3. Задачи об ударных волнах
- •1.3.1. Задача о поршне в совершенном газе
- •1.3.2. Задача о поршне в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.3.3. Отражение ударной волны от жесткой стенки в совершенном газе
- •1.3.4. Отражение ударной волны от жесткой стенки в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.4. Волна разрежения
- •1.4.1. Волна разрежения в совершенном газе
- •1.4.2. Задача о выдвигающемся поршне в газе
- •1.4.3. Волна разрежения в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.5. Распад произвольного разрыва
- •1.5.1. Распад произвольного разрыва в покоящемся газе
- •1.5.2. Столкновение и разлет двух масс газа
- •1.5.3. Распад произвольного разрыва в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.5.4. Прохождение ударной волны через границу раздела двух сред
- •1.5.5. Прохождение ударной волны через границу раздела между жидкостью и пузырьковой жидкостью
- •1.6. Затухание упругого предвестника.
- •1.7. Волновое истечение в окружающее пространство
- •1.7.1. Истечение совершенного газа из трубы в окружающее пространство
- •1.7.2. Истечение холодной жидкости
- •1.7.3. Истечение равновесной пузырьковой жидкости
- •1.7.4. Качественный анализ процесса истечения вскипающей жидкости
- •1.7.5. Замкнутая система уравнений для истечения вскипающей жидкости
- •1.7.6. Численное решение задачи об истечении вскипающей жидкости
1.2.3. Скорость ударной волны
Скорость ударной волны в совершенном газе. Определим скорость распространения ударной волны в совершенном газе. Предположим, что изначально газ покоится . Тогда согласно (2.1.2)
. (2.3.1)
Используя уравнение (2.2.7), в котором исключим с помощью (2.2.12), найдем, что
.
Заметим, при , .
Итак,
. (2.3.2)
Рассмотрим асимптотическое поведение скорости сильных и слабых ударных волн. Для сильных волн
. (2.3.3)
Для слабых –
. (2.3.4)
Квадрат скорости ударной волны пропорционален тангенсу угла наклона между отрезком, соединяющим начальное и конечное состояния на ударной адиабате, и осью абсцисс (см. рис. 1.7). Действительно, тангенс этого угла есть
,
. (2.3.5)
1 1
Рис.
1.7.
.
Следовательно,
.
Таким образом, квадрат скорости ударной волны пропорционален , а квадрат скорости звука – .
Часто для описания скорости ударной волны вводят число Маха (Mach)
. (2.3.6)
Для ударных волн всегда выполняется неравенство . Используя (2.3.2) и (1.4.5), получим
. (2.3.7)
Для волн большой интенсивности найдем
. (2.3.8)
Для волн малой интенсивности получим
. (2.3.9)
Рассмотрим в подвижной системе координат отношение скоростей среды до и после скачка к местной скорости звука . Очевидно, до скачка . Покажем, что после скачка . Разделим почленно (2.2.6) на квадрат скорости звука , получим
.
Из уравнения ударной адиабаты найдем
.
Тогда
. (2.3.10)
Таким образом, в системе координат, связанной со скачком, скорость газа перед ударной волной сверхзвуковая, за волной – дозвуковая.
Выясним ответ на вопрос: догонит ли звуковая волна ударную? В подвижной системе координат, связанной со скачком, газ за ударной волной имеет скорость u.Звук бежит по газу со скоростью c. Далее
u<0, |u|<c.
Следовательно, u+c>0. Таким образом, звуковое и любое другое возмущение за конечное время догонит ударную волну.
Скорость ударной волны в жидкости. Соотношения на скачке имеют вид:
, .
Уравнение состояния жидкости
,
или
. (2.3.11)
Здесь учтено, что объем жидкости при сжатии меняется незначительно, так что . При больших перепадах давления () диаграмма сжатия становится нелинейной. В этом случае используют уравнение Тэта (Tait):
или . (2.3.12)
Константы, входящие в уравнение, определяются экспериментально. При уравнение Тэта переходит в акустическое уравнение состояния. Вследствие большой теплоемкости жидкости температуры до и после скачка практически равны и процесс распространения ударной волны является изотермическим , . Поэтому эти уравнения играют роль адиабаты и ударной адиабаты для жидкости. Проводя аналогию со случаем совершенного газа, видим, что похожая картина наблюдается при малых интенсивностях ударных волн в совершенном газе, когда адиабата и ударная адиабата совпадают вблизи точки начального состояния.
В истории такой подход уже был. Риман вместо уравнения энергии в системе соотношений на разрыве использовал уравнение адиабаты Пуассона, т.е. заменил адиабату Гюгонио адиабатой Пуассона.
Скорость ударной волны в жидкости совпадает со скоростью звука в ней, если использовать акустическое уравнение состояния. Используя уравнение Тэта и исключая или из (2.2.7), можно найти выражение для скорости (звука) ударной волны в зависимости от или соответственно.
Скорость ударной волны в пузырьковой жидкости. В термодинамически равновесном приближении уравнение состояния имеет вид (1.1.20):
, или .
Как и в случае с жидкостью, уравнение состояния играет роль ударной адиабаты. Используя (2.2.7) найдем
.
Откуда
. (2.3.13)
Число Маха в этом случае есть
. (2.3.14)
Рис.
1.8.
Напомним, что уравнение (2.1.20) не учитывает сжимаемость жидкости и справедливо лишь для не очень сильных волн, когда , где – скорость звука в чистой (без пузырьков) жидкости.