1.5.5. Прохождение ударной волны через границу раздела между жидкостью и пузырьковой жидкостью

Пусть ударная волна, распространяющаяся первоначально в жидкости, проходит границу раздела между жидкостью и пузырьковой жидкостью. Акустический импеданс жидкости больше, чем пузырьковой жидкости. Вследствие этого, в жидкость отразится волна разрежения, а в пузырьковую жидкость пройдет ударная волна (рис. 1.26). Будем считать заданными начальные значения параметров и параметры падающей ударной волны. Индексом l будем обозначать параметры жидкости, а индексом b – параметры пузырьковой жидкости. Индекс 0 обозначает, как и раньше, начальные параметры среды.

Для падающей ударной волны имеем

. (5.5.1)

Из акустического уравнения состояния жидкости найдем связь между давлениями и плотностями в жидкости за ударной волной и за волной разрежения:

. (5.5.2)

Для прошедшей ударной волны

, . (5.5.3)

На контактном разрыве давления и скорости сред совпадают:

, . (5.5.4)

Из интеграла (4.1.6) для жидкости получим

. (5.5.5)

Выписанная система уравнений замкнута. Используем соотношения (5.5.4), чтобы привести систему к следующему удобному для решения виду:

,

, (5.5.6)

.

Систему (5.5.6) можно свести к нелинейному уравнению для давления за прошедшей ударной волной:

. (5.5.7)

Это уравнение решается численно. Плотность пузырьковой жидкости за прошедшей ударной волной можно найти из уравнения состояния пузырьковой жидкости:

. (5.5.8)

Найти остальные параметры не составит большого труда.

1.6. Затухание упругого предвестника.

В 1968 г. В.К. Кедринский (1968) опубликовал работу, в которой экспериментально обнаружил расслоение ударной волны при ее прохождении через тонкий пузырьковый слой на две составные части (рис.1.28): высокочастотный упругий предвестник, который движется со скоростью, практически равной скорости звука в чистой жидкости ( 1500 м/с), и более протяженную и размытую основную волну, которая движется гораздо медленнее ( 100 м/с). На приведенных в работе осциллограммах ясно прослеживается выделение упругого предвестника ударной волны и его быстрое затухание с увеличением толщины слоя (при прохождении слоя толщиной в 3см амплитуда предвестника уменьшается более чем в 10 раз). Размер пузырьков в слое, к сожалению, не указан.

Рис.1.28. Расслоение взрывной волны и выделение упругого предвестника при ее прохождении через пузырьковые слои с объемным содержанием пузырьков 0.08 различной толщины. Толщина слоя: а – 0 см, б – 1 см, в – 2 см, г – 3 см. Начальная максимальная амплитуда импульса 10 атм, длительность – с (В.К. Кедринский, 1968).

В работе В.Е. Накорякова, Б.Г. Покусаева, И.Р. Шрейбера и др. (1975) описаны результаты, полученные при проведении опытов в бассейне с пузырьковой завесой с малым газосодержанием, когда ударная волна создавалось взрывом электродетонатора. Объемное газосодержание варьировалось в пределах 210^-5  210^-3, амплитуда падающей волны достигала 25  1000 бар, ширина завесы менялась в диапазоне 3  50см. Средний размер пузырьков составлял 0.2мм. Наблюдаемое поведение волны соответствует описанному выше. Отмечается, что предвестник распространяется со скоростью ударной волны в чистой жидкости. Результаты последующих экспериментов на ударной трубе и в бассейне приведены в работе В.В. Кузнецова и Б.Г. Покусаева (1978). В экспериментах на ударной трубе разброс пузырьков по размерам не превышал 8 %. Установлено резкое уменьшение амплитуды переднего скачка при его распространении по газожидкостной смеси. Например, при a₀ = 1.5.мм, ₂₀ = 0.006, p₀ = 0.5 бар характерная длина затухания составляла примерно 2см, на расстоянии свыше 7см предвестник практически не наблюдался. Отмечается, что скорость распространения скачка практически равна скорости звука в чистой жидкости. Приведены также данные по затуханию предвестника взрывной волны в пузырьковой завесе.

Экспериментальные данные Н.В. Малых и И.А. Огородникова также получены во взрывном бассейне. При этом исследовались завесы различных газов (азот, аргон, гелий, водород, воздух) с ₂₀ = 10^-5  10^-1, a₀  5 мм. Отмечается, что сорт газа в пузырьках на затухание предвестника не влияет.

Отметим, что линейное двухволновое уравнение (В.Г. Гасенко, 1978), в том числе линейное уравнение Клейна-Гордона (Н.В. Малых, И.А. Огородников, 1976), не описывает затухание упругого высокочастотного предвестника. Затухание, имеющее место в этих расчетах, связано лишь с наличием аппроксимационной вязкости вычислительной схемы. Правильную оценку характерной длины затухания упругого предвестника можно получить, анализируя условия на характеристиках системы, состоящей из уравнений сохранения массы, импульса смеси и акустической сжимаемости несущей жидкости.

Вычислим производную , используя равенства , , , , и акустическое уравнение состояния несущей жидкости (6.1). Получим

.

Подставим ее в (6.1). Тогда из (6.1) следует система уравнений для нахождения уравнений характеристик и условий на них

Уравнения характеристик получаются приравниванием нулю определителя этой системы. Если один из его столбцов заменить столбцом из свободных членов и приравнять нулю полученный определитель, то получим условия на характеристиках.

Уравнения характеристик и условия на них имеют следующий вид

, ,

Оценим затухание упругого предвестника, описываемого в виде скачка, распространяющегося вдоль характеристики по невозмущенной среде. Пусть на скачке претерпевает разрыв продольная скорость v и давление p, тогда из соотношений на разрыве имеем

,

Подставив в условие на характеристике , получим

Уравнение получено без привлечения уравнения Рэлея. В соответствии с уравнением Рэлея из-за конечной «присоединенной» массы в радиальном движении при изменении давления p в жидкости скачком скорость w остается равной нулю (w_f =0), и согласно упругий предвестник не затухает. В действительности же при внезапном изменении давления в жидкости w также должно измениться. Если принять, что скорость радиального движения претерпевает разрыв в соответствии с законом сохранения импульса

,

т.е. становится равной скорости жидкости на стенке пузырька при ее разгрузке с давления p_f до давления p₀, то из получим

Отсюда следует, что

,

где x_f – расстояние, на котором амплитуда переднего скачка p_f уменьшается в e раз.

Заметим, что если учесть, что разгрузка давления на пузырьке не плоская, а сферическая, то получится более точная оценка (Р.И. Нигматулин, 1987)

Качественно такие теоретические оценки согласуются упомянутыми выше экспериментальными данными. Количественное сравнение с данными, полученными на пузырьковых завесах в бассейне, затруднено, так как, в таких экспериментах обычно имеет место значительный разброс по размерам пузырьков. Количественное рассогласование с данными В.В. Кузнецова и Б.Г. Покусаева (1978), полученными на ударной трубе, (теоретическая оценка несколько завышает характерную длину затухания по сравнению с экспериментальными данными) отчасти можно объяснить погрешностью в измерении очень малой объемной концентрации газа (₂₀ = 0.006 и 0.002) вблизи верхней поверхности жидкости, где проявляется предвестник (средняя объемная концентрация газа определяется по подъему столба жидкости, а ее значение вблизи поверхности может быть больше среднего).