1.7.6. Численное решение задачи об истечении вскипающей жидкости
Для более детального, чем в п. 7.4, анализа задачи ее необходимо решать численно. Для этого систему уравнений (7.5.18) необходимо привести к виду, удобному для численного решения. Перепишем (7.5.20) в виде
. (7.6.1)
Распишем субстанциональные производные:
,
.
Тогда (7.6.1) преобразуется к виду
. (7.6.2)
Уравнение сохранения импульса легко привести к виду
. (7.6.3)
Окончательно система уравнений примет вид
(7.6.4)
Здесь
определена выражениями (7.5.15) – (7.5.17).
Как
уже говорилось, аппроксимации полиномами
подлежат табличные данные для величин
,
,
и
.
Величины
и
рассчитывают по формулам (7.5.2) и (7.5.3)
соответственно.
Изложим методику численного интегрирования уравнений, подобных уравнениям системы (7.6.4). Последнюю можно представить в векторной форме:
. (7.6.5)
Здесь
и
– вектора, компонентами которых являются
величины, стоящие под знаками производных
в (7.6.4). В дальнейшем стрелку над буквами
писать не будем. Существует большое
количество разностных схем, аппроксимирующих
(7.6.5). Мы рассмотрим схему Лакса –Вендроффа
(Lax
– Wendroff).
Переход на следующий временной слой
разностной сетки в этой схеме осуществляется
в два этапа. На первом полушаге вычисляются
величины:
, (7.6.6)
Рис.
1.36.
может принимать значения
.
Здесь индекс
– пространственная координата, а
– временная координата узла сетки,
и
– шаги по пространственной координате
и времени. На втором полушаге вычисляются
значения
на следующем временном слое:
. (7.6.7)
Шаблон разностной схемы приведен на рис. 1.36.
В
третьем уравнении системы (7.6.4) присутствует
недивергентное слагаемое
.
Его аппроксимация на первом и втором
полушаге соответственно имеет вид:
,
(7.6.8)
Результаты компьютерного моделирования можно найти в статьях А. И. Ивандаева, А. А. Губайдуллина (1978), А. И. Ивандаева (1978), Д. А. Губайдуллина, А. И. Ивандаева (1986), монографии Р. И. Нигматулина (1987).