§ 2.5 Общее решение системы линейных уравнений

Определение 1. Однородной системой m линейных алгебраических уравнений для n неизвестных называется система уравнений

вида (1) или в матричном виде (2)

где А -заданная матрица из коэффициентов размером mxn,

- столбец n неизвестных, - нулевой столбец высоты m.

Однородная система всегда совместна (расширенная матрица совпадает с А) и имеет очевидные решения: х₁ = х₂ = … = х_n = 0.

Это решение называется нулевым или тривиальным. Всякое другое решение, если оно есть, называется нетривиальным.

Теорема 1. Если ранг матрицы А равен числу неизвестных, то система (1) имеет единственное (тривиальное) решение.

Действительно, согласно теоремы Крамера, r=n и решение единственное.

Теорема 2. Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных (следует из теоремы о числе решений).

 если есть ненулевые решения, то решение не единственное, то определитель системы равен нулю, то r<n

 если r<n, то система имеет бесконечно много решений (среди них есть нулевое).

Теорема 3. Однородная система n уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда detA = 0.

 если есть ненулевые решения, то решений бесконечно много, тогда согласно теореме о числе решений r<n, то detA = 0.

 если detA = 0, то r<n, то решение не единственное, то их бесконечно много (следовательно, есть и ненулевое решение).

Теорема 4. Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо, чтобы число уравнений системы было меньше числа неизвестных.

Так как ранг матрицы из коэффициентов не может быть больше числа ее строчек (как и числа столбцов), то r<n, то, согласно теореме 1, система имеет ненулевое решение.

Определение 2. Переменные системы, расположенные на базисных столбцах исходной матрицы коэффициентов, называют базисными переменными, а остальные переменные системы называют свободными.

Определение 3. Фундаментальной совокупностью решений (сокращенно ФСР) называется набор вектор столбцов , номера которых являются свободными столбцами исходной матрицы из коэффициентов.

Теорема 5. Если ранг матрицы r системы меньше числа неизвестных n, то общее решение однородной системы уравнений описывается формулой , где - произвольные числа, а - фундаментальная совокупность решений.

Определение 4. Частным решением неоднородной системы АХ = В называют вектор столбец Х, полученный при нулевых значениях свободных переменных.

Теорема 6. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений АХ = В имеет вид , где - некоторое частное решение системы уравнений АХ = В, а - ФСР однородной системы АХ = 0.

Пример. Найти общее решение неоднородной линейной системы уравнений АХ = В.

х₁ – 2 х₂ + х₃ - 2х₄ = 3

3 х₁ – 4 х₂ + 2х₃ - х₄ = 2 (3)

-4 х₁ + 6 х₂ - 3х₃ + 3х₄ = - 5

Проверим условие существования решения (условие Кронекера - Капелли):

1 –2 1 -2 3 1-2 1 -2 3 1 -2 1 -2 3

3 –4 2 -1 2  4–6 3 -3 5  4 -6 3 -3 5 ,

-4 6 -3 3 -5 -4 6-3 3 -5 0 0 0 0 0

rang A = rang D= 2 и решение существует. Продолжив элементарные преобразования над коэффициентами основной матрицы системы, получим матрицу F и выделим в ней базисный минор и базисные столбцы:

1 -2 1 -2 где в качестве базисных переменных берем

F = х₁, х₂, а в качестве небазисных - х₃, х₄

1 0 0 3

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений FХ = 0 и найдем ее общее решение , где , а - фундаментальная совокупность решений. Запишем систему однородных уравнений FХ = 0

х₁ - 2х₂ + х₃ - 2х₄ = 0 или х₁ - 2х₂ = - с₁ + 2с₂

х₁ + 3х₄ = 0 х₁ = - 3с₂

Решим ее: х₁ = -3с₂ , х₂ = 0.5с₁ – 2.5с₂ , х₃ = с₁, х₄ = с₂

Общее решение однородной системы будет записано в виде:

= .

Таким образом, фундаментальная совокупность решений для данной системы состоит из двух векторов: . Найдем общее решение неоднородной системы АХ = В, как сумму частного и ФСР.

Полагая в (3) , найдем , что дает частное

решение исходной неоднородной системы .

Общее решение этой неоднородной системы имеет вид

или +

где фундаментальная совокупность решений соответствующей однородной системы, найденная ранее.