Важное практическое применение имеет следующая теорема

Теорема 2. Всякая матрица при помощи элементарных преобразований над строчками и при помощи перестановки столбцов может быть преобразована в трапециевидную матрицу.

Доказательство. Пусть задана матрица А, причем в ней существует по крайней мере один отличный от нуля элемент. С помощью элементарных преобразований переместим этот элемент в верхний правый угол. Разделим на этот элемент всю первую строку. Тогда крайним левым элементом будет 1. Последовательно умножая первую строку на элементы а₂₁, а₃₁ и т.д. и вычитая эту строку из 2, 3 и т.д.строки, мы получим в первом столбце с 2-ой по n-ую строку нули. Далее переходим к элементу а₂₂ и повторяем ту же процедуру, пока не исчерпаем всю матрицу. В результате получим матрицу, в каждой столбце которой, начиная с некоторого номера строки, стоят нули.

Следствие. Всякая квадратная матрица при помощи элементарных преобразований над строчками и при помощи перестановки столбцов может быть преобразована либо в диагональную матрицу, либо (при необходимости) в единичную.

Замечание к полученным результатам:

• если к матрице ранга k прибавить состоящую из нулей строчку или столбец, то ранг новой матрицы также будет равен k

• если к матрице приписать некоторую строчку или столбец, то ранг полученной матрице может превосходить ранг исходной матрице не более, чем на 1.

§ 2.4 Теорема Кронекера - Капелли

Пусть дана произвольная система m линейных уравнений с n неизвестными

(1) или (2)

Здесь -заданная матрица из коэффициентов (mxn),

- столбец неизвестных, - столбец свободных членов

Необходимо выяснить, когда данная система совместна (имеет решения)

Определение 1. Матрица D, получающая из матрицы А добавлением столбца из свободных членов системы, называется расширенной матрицей систем (1-2).

Определение 2. Под элементарными преобразованиями системы линейных уравнений понимают следующие операции:

• умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля

• прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на неравное нулю число

• перемена местами двух уравнений в системе.

Очевидно, что элементарные преобразования системы линейных уравнений (проводимые над коэффициентами при неизвестных и свободными членами) эквивалентны элементарным преобразованиям над строками матриц или над строками расширенной матрицы системы.

Учитывая, что элементарные преобразования над строками матрицы обратимы, мы можем переходить от заданной расширенной матрицы D к новой, трапециевидной, расширенной матрице C и обратно. Это означает, что мы можем переходить от одной системе уравнений к другой, более простого для решения вида.

Теорема 1. Пусть задана система уравнений АХ=В и ее расширенная матрица D. При элементарных преобразованиях над строками расширенной матрицы D система уравнений АХ=В переходит в равносильную систему GX=Н с расширенной матрицей С.

Для доказательства теоремы достаточно проверить, что при элементарных преобразованиях – умножение уравнения на число и прибавление к коэффициентам одного уравнения коэффициентов другого - решения не меняются.

Заметим, что если две системы линейных уравнений от одних и тех же неизвестных равносильны, то число уравнений в системах не обязано быть одинаковым. Иными словами, при проведении элементарных преобразований отдельные строки матрицы D могут стать нулевыми, что в свою очередь приведет к сокращению числа уравнений системы АХ=В. Легко понять, что возможна и такая ситуация: элементы расширенной матрицы, относящиеся к коэффициентам при неизвестных, станут нулевыми, а свободный член уравнения будет отличен от нуля, т.е. 0+0+…+0 = K0. Очевидно, что подобное возможно только в том случае, когда система не имеет решений.

Рассмотренная ситуация дает рецепт для решения вопроса о существовании решений системы АХ=В.

Теорема 2 (теорема Кронекера и Капелли).

Система уравнений АХ = В совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы D равен рангу матрицы коэффициентов A.

Доказательство.

 Пусть система совместна, тогда существует набор чисел ₁,…,_n являющихся ее решением. Рассмотрим расширенную матрицу системы и проведем над ней элементарные преобразования: умножим 1-й столбец на число ₁ и вычтем полученный столбец из столбца свободных членов. Далее умножим 2-й столбец на число ₂ и вычтем его из нового столбца свободных членов и т.д. В результате такого преобразования мы получим вместо исходной расширенной матрицы новую, с нулевым последним столбцом (₁,…,_n являются решениями системы и элементы последнего столбца a_i1₁+a_i2₂+…+a_in_n=0). Полученная матрица совпадает с матрицей из коэффициентов А системы. Естественно, их ранги равны (нулевой столбец не увеличивает ранг).

 Пусть ранги двух матриц равны r. Рассмотрим систему АХ = В и систему из r уравнений с n неизвестными, содержащую базисные строки и столбцы. Можно легко доказать, что системы равносильны, т.е. каждое решение 1-й системы является решениями 2-й системы и обратно. Тогда можно искать решения по второй, состоящей из r уравнений системе, заменяя (n – r) неизвестных на параметры. Таким образом, мы придем к квадратной системе и исходя из теоремы Крамера (т.к. новая система содержит отличный от нуля минор порядка r) решения существуют.

Следствие (теорема о числе решений).

Если ранг матрицы из коэффициентов системы равен рангу ее расширенной матрицы, то система имеет решение. При этом, если ранг матрицы системы r равен числу неизвестных n, то система имеет единственное решение, а если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных r<n, то система имеет бесконечное число решений, а именно: некоторым (n-r) неизвестным нужно придать произвольные значения (параметры), тогда оставшиеся r неизвестных определяются по формулам Крамера.

Совокупность полученных выше результатов приводит к построению следующего алгоритма, позволяющего выяснить вопрос существования решения (совместности) в системе алгебраических уравнений:

1. С помощью элементарных преобразований над строками расширенной матрицы приходим к трапециевидной матрице, при этом система уравнений переходит в равносильную (упрощенную за счет сокращения числа коэффициентов и уравнений системы).

2. Учитывая, что при элементарных преобразованиях ранги не меняются, устанавливаем ранги полученной расширенной матрицы и матрицы коэффициентов. Если ранги не совпадают, то система не имеет решений. Если ранги совпадают, то переходим к процедуре поиска решений.

Рассмотрим одну из таких процедур.