Тема 4. Графы

1. Основные понятия и определения

Граф состоит из множества узлов и множества дуг. Каждая дуга в графе указывается парой узлов. Примеры графов:

Граф G1 Граф G2

Для графа G1 множество узлов – {A, B, C, D, E, F, G, H}, множество дуг – {(A, B), (A, D), (A, C), (C, D), (C, F), (E, G), (A, A)}. Дуга, соединяющая узел с самим собой, называется петлей. Узел может не иметь связанных с ним дуг (узел H графа G2). Если пары узлов, образующих дугу, упорядочены, то граф называют ориентированным, или направленным, графом (граф G2 – ориентированный); дуги в этом случае изображают стрелками. В этой теме мы будем рассматривать только ориентированные графы без петель.

Узел n называется инцидентным дуге x, если n – это один из двух узлов упорядоченной пары, составляющей дугу x (говорят также, что дуга x инцидентна узлу n). Степень узла – это число дуг, инцидентных узлу. Полустепень захода узла – это число дуг, входящих в узел, а полустепень исхода узла – это число дуг, выходящих из узла. Например, узел C графа G2 имеет полустепень захода 2, полустепень исхода 1 и степень 3. Узел n называется смежным с узлом m, если существует дуга из m в n.

Часть графа – это граф, содержащий часть узлов исходного графа и часть (любую) его дуг.

Подграфом графа называется такая его часть, которая вместе со всякой парой узлов содержит и дугу, если она есть в исходном графе.

Суграф содержит все узлы исходного графа и часть его дуг.

Граф Часть графа Подграф Суграф

G3 G4 G5 G6

Граф называется полным, если любые два его различных узла соединены дугой. Например, графы G3 и G5 полные.

Дополнением графа называется граф с тем же множеством узлов, что и исходный граф, причем два различны узла в дополнении графа смежны тогда и только тогда, когда они не смежны в исходном графе.

С каждой дугой графа может быть связано некоторое значение, как в графе G2. Такой граф называется взвешенным графом, а связанное с каждой дугой значение называется весом.

Путь от узла a до узла b – это последовательность узлов n₀, n₁, ..., n_k, такая, что n₀=a, n_k=b и для любого i от 0 до k-1 узел n_i+1 смежен узлу n_i, т.е. существует дуга из n_i в n_i+1. Длина пути n₀, n₁, ..., n_k равна количеству его дуг, то есть k. Например, в графе G7 путь A, B, C, D имеет длину 3 и соединяет узлы A и D.

Граф g7

Длина пути во взвешенном графе равна сумме весов дуг, входящих в этот путь.

Путь, не содержащий одинаковых узлов (за исключением, может быть, n₀=n_k), называется простым.

Путь от узла к самому себе, не содержащий одинаковых дуг, называется циклом. Если граф содержит цикл, то он называется циклическим, в противном случае – ациклическим.

Расстояние между двумя узлами – это длина кратчайшего пути, соединяющего эти узлы.

Граф называется связным, если для любой пары узлов существует соединяющий их путь. Например, граф G3 связный, а графы G4 – G6 – нет. Очевидно, что ориентированный граф не будет связным, если в нем есть узлы, не имеющие входящих или исходящих дуг. Неориентированный граф несвязный, если он содержит узлы, не имеющие инцидентных с ним дуг.

Связный ориентированный граф без петель называется сетью.