Тема 3. Бинарные деревья

1. Основные понятия и определения

Дерево – это непустое конечное множество элементов, из которых один называется корнем, а остальные делятся на несколько непересекающихся подмножеств, каждое из которых само является деревом.

Рекурсивное определение. Дерево с базовым типом Т – это либо: пустое дерево, либо некоторый узел типа Т с некоторым конечным числом связанных с ним деревьев типа Т, называемых поддеревьями.

Существует несколько способов изображения структуры дерева: вложенные множества (1), вложенные скобки (2), отступы (3), граф (4). Ниже с помощью перечисленных способов изображено одно и то же дерево, элементами которого являются буквы латинского алфавита:

Структура, представленная в виде графа и явно отражающая разветвления, привела к появлению термина «дерево». Каждый элемент дерева называют узлом. Дерево принято изображать растущим вниз, а его верхний узел называют корнем. Все узлы дерева разбивают на уровни. Корень имеет нулевой уровень. Если узел x лежит на уровне i, а y связана с x и лежит на уровне i+1, то говорят, что y – потомок (сын) x, а x – предок (отец) y. Высота дерева равна максимальному уровню этого дерева плюс 1.

Если элемент не имеет потомков, то его называют терминальным узлом, или листом, в противном случае узел называют внутренним. Число непосредственных потомков внутреннего узла называют его степенью. Максимальная степень всех узлов есть степень дерева.

Упорядоченное дерево – это дерево, у которого ветви, исходящие из каждого узла, упорядочены. Поэтому два изображенных ниже упорядоченных дерева – это разные объекты.

Особенно важную роль играют упорядоченные деревья второй степени. Их называют двоичными (или бинарными) деревьями.

Примеры бинарного дерева: генеалогическое дерево, где у каждого человека есть потомки (!) в лице отца и матери; схема кубкового спортивного турнира, где каждая игра – это узел, в котором указан её победитель, а потомки – две предыдущие игры соперников; арифметическое выражение с бинарными операциями, где каждому оператору соответствует узел, а операнды – его поддеревья. Ниже приведены два бинарных дерева: дерево (а), элементами которого являются символы латинского алфавита, и дерево (б) выражения (a+b/c)(d–ef).

(а) (б)

Если каждый узел бинарного дерева, не являющийся листом, имеет непустые правые и левые поддеревья, то дерево называется строго бинарным. Строго бинарное дерево с n листами всегда содержит 2n-1 узлов. Дерево выражения (б) является строго бинарным.

Строго бинарное дерево, все листья которого расположены на одном уровне, называется совершенным. Совершенное дерево высотой h содержит 2^h–1 узлов. На каждом его уровне расположено максимальное количество узлов, равное 2ⁱ, где i – номер уровня.

2. Построение бинарного дерева

Наибольший интерес представляет задача построения дерева минимальной высоты при заданном числе узлов n. Очевидно, что минимальная высота достигается, если на всех уровнях, кроме последнего, помещается максимально возможное число узлов. Этого можно добиться, размещая очередные узлы поровну слева и справа от каждого узла. В результате будем получать деревья со следующей структурой:

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7

Правило равномерного распределения для известного числа узлов n лучше всего сформулировать, используя рекурсию:

1) взять один узел в качестве корня;

2) построить тем же способом левое поддерево с nl=n div 2 узлами;

3) построить тем же способом правое поддерево с nr=n–nl–1 узлом.

Построенное с помощью предложенного выше алгоритма дерево будет идеально сбалансированным – для каждого его узла число узлов в правых и левых поддеревьях отличается не более чем на 1.