2. Построение кривых

Кривые строятся в основном следующими способами:

• интерполяцией по точкам;

• расчетом пересечения поверхностей;

• выполнением преобразования некоторой кривой.

• формированием замкнутых или разомкнутых контуров из отдельных сегментов, например отрезков прямых, дуг конических сечений или произвольных кривых.

Обычно используются параметрические кубические кривые, так как это наименьшая степень, при которой обеспечиваются:

• непрерывность значения первой (второй) производной в точках сшивки сегментов кривых;

• возможность задания неплоских кривых.

Параметрическое представление кривых выбирается по целому ряду причин, в том числе потому, что зачастую объекты могут иметь вертикальные касательные. При этом аппроксимация кривой y = f(x) аналитическими функциями была бы невозможной. Кроме того, кривые, которые надо представлять, могут быть неплоскими и незамкнутыми. Наконец, параметрическое представление обеспечивает независимость представления от выбора системы координат и соответствует процессу их отображения на устройствах: позиция естественным образом определяется как две функции времени x(t) и y(t).

В общем виде параметрические кубические кривые можно представить в форме:

x(t) = A11   t3 + A12   t2 + A13   t + A14; y(t) = A21   t3 + A22   t2 + A23   t + A24; z(t) = A31   t3 + A32   t2 + A33   t + A34,

где параметр t можно считать изменяющимся в диапазоне от 0 до 1, так как интересуют конечные отрезки.

Существует много методов описания параметрических кубических кривых. К наиболее применяемым относятся:

• метод Безье, широко используемый в интерактивных приложениях; в нем задаются положения конечных точек кривой, а значения первой производной задаются неявно с помощью двух других точек, обычно не лежащих на кривой;

• метод В-сплайнов, при котором конечные точки не лежат на кривой и на концах сегментов обеспечивается непрерывность первой и второй производных