4) On donne la réponse sans oublier de rappeler l’unité de longueur.

Réciproque de la propriété de Thalès

Soient et deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de , distincts de A. Soient C et N deux points de , distincts de A. Si et si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Cette propriété permet de démontrer que deux droites sont paralléles.

Par exemple :

Les diagonales [LU] et [PO]

d’un quadrilatèreLOUP se coupent en I.

Démontrer que le quadrilatère LOUP

est un trapèze.

Solution

1) On construit la figure ; il semble que les bases du trapèze soient [LO]et [PU]. On cherche à démontrer que (LO)׀׀(PU).

2) On calcule et  : et Ces quotients sont égaux.

3) On applique la réciproque de la propriété de Thalès pour conclure.

Les droites (OP) et (LU) se coupent en I. Les points O, I, P de la droite (OP) sont alignés dans le même ordre que les points L, I, U de la droite (LU) ; et on. D’après la réciproque de la propriété de Thalès, les droites (LO)et (PU) sont parallèles. Le quadrilatère LOUP est un trapèze de bases [LO]et [PU] .

Exercices

31) On considère la figure ci-dessous.

(MN)׀׀(IJ)

1) Recopier et compléter le texte suivant : « Les droites ... et ... sont sécantes en L ; M et I sont deux points de ... ; N et J sont de points de ... ; les droites (MN) et (IJ) étant ... , d’après ..., on a :

2) Dans chacun des cas suivants, quatre des longueurs LM, LN, MN, LI, LJ, IJ sont données, calculer les autres (unité : cm).

a) LN = 4 ; MN = 5 ; LI = 9 ; IJ = 7,5 b) LM = 2 ; LN = 3,4 ; LJ = 11,9  ; IJ = 10,5

32) Deux droites sécantes en U sont coupées par deux droites parallèles comme sur la figure ci-dessous.

Les dimentions réelles sont :

TU = 3cm, UH = 2,2cm,

UM = 9,9cm, ML = 9cm.

Calculer UL et TH.

33) Deux segments [LM] et [TC] se coupent en R. Sachant que : (LT)׀׀(MC) ;

LT = 5cm ; MC = 6cm et RM = 4,8cm, calculer RL.

34) Sur la figure ci-dessous :

(LR)׀׀(TR) ; LR = OT ;

LO = 2cm ; TP = 4,5cm.

Calculer LR.

35) Les points M, A, N d’une part, M, B, L d’autre part sont alignés dans l’ordre indiqué sur la figure.

Dans chacun des cas suivants, démontrer que les droites

(AB) et (NL) sont parallèles. L’unité de longueur est le

centimètre.

a) MA = 4 ; MB = 5 ; MN = 12 ; ML = 15.

b) MA = 4 ; MB = 6 ; MN = 7 ; ML = 10,5

c) MA = 3,6 ; AN = 6 ; MB = 4,2 ; BL = 7.

36) Les points T, F, R et T, E, S sont disposés comme sur la figure ci-contre.

RF = 2,8cm ; RT = 9,1cm ;

TE = 8,1cm ; SE = 3,6cm.

Démontrer que (EF) et (RS)

sont parallèles.

37) Deux segments [UV] et [RT] se coupent en S. Dans chacun cas suivants, démontrer que les droites (UR) et (VT) sont parallèles.

a)

b)

c)

38) Reproduire la figure ci-dessous avec :

MN = 2cm ; MC = 6,3cm ;

NB = 5,6cm ; IB = 4cm ;

IC = 4,5cm.

Démontrer que les droites (MN) et (BC)

sont parallèles. Calculer BC.

39) Calculer x dans les deux cas ci-dessous. Toutes les mesures sont expmées dans la même unité.

40) Sur le dessin, l’ombre du sommet H de l’arbre est en A. On place verticalement en B un bâton tel que l’ombre du point C soit en A. On donne : AB = 1,2m ; BC = 0,8m et AD = 15m. Quelle est la hauteur DH de l’arbre ?

41) Sur le dessin suivant, la diapositive [AB] de 24mm se trouve à 3cm de O. L’image sur l’écran mesure MN = 2m. Á quelle distance de O se trouve l’écran ?

42) Sur la figure ci-contre,

on a :  ; aire TRI = 1,5m².

Calculer l’aire du triangle

43) Allongée dans l’herbe, Julie voit le sommet de la tente T dans l’alignement du sommet du phare P. = 1,20m ; = 36m ; = 5m. La tente de Julie est à 15m du bord de mer M. Calculer la distanceentre le phare et le bord de mer.