4.2 Suite arithmétique
Mots à retenir
une suite (une progression) arithmétique (арифметическая прогрессия)
la raison d’une suite arithmétique (разность арифметической прогрессии)
Définitions
1)Une suite est arithmétique lorsque l’on passe d’un terme quelconque au suivant en ajoutant toujours le même nombre a, appelé raison de la suite.
Remarques
Dans la suite des entiers naturels (arithmos en grec), chaque terme est la demi-somme des termes qui l’encadrent. Toute suite vérifant la même propriété est appelée suite arithmétique. On emploie aussi parfois l’expression progression arithmétique.
2) La raison est la différence entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique.
Par exemple :
Considérons la suite des naturels impairs : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; ... . On constate que l’on passe d’un terme à son suivant en ajoutant toujoursle même nombre 2. On dit alors que la suite des naturels impairs est une suite arithmétique de raison 2.
Formules d’une suite arithmétique
-
Formule de récurrence :
-
Terme général, formule explicite :
où
est
le terme initial ou bien
si
on connaît le terme d’indice i.
Par exemple :
est
une suite arithmétique de raison -3
et
de terme initial 8 , alors
et
Sens de variation
La
différence
entre
deux termes consécutifs est égal à la raison a :
-
Si la raison est positive, alors la suite arithmétique est croissante.
-
Si la raison est négative, alors la suite arithmétique est décroissante.
Représentation graphique
La représentation graphique des termes d’une suite arithmétique est un ensemble de points isolés alignés.
Par exemple :
est
une suite arithmétique de raison
et
de terme initial 1. On a vu que, pour
tout n
:
d
est la droite
d’equation
Les
six premiers
points de la suite et la droite d sont représentés sur la figure ci-contre.
Somme de termes consécutifs
La somme S
de p termes consécutifs d’une suite arithmétique est :
où
a
est le premier
terme de la sommeet b
le dernier.
Par exemple :
Si
est
une suite arithmétique,
Exercices
203)
Dans
chacun des cas suivants, calculer les cinq premiers termes de la
suite arithmétique de premier terme
et
de raison a sachant que :
a) u0 = 10 et a = 3 ; b) u0 = -4 et u1 = -6.
204) Reconnaître les suites arithmétiques parmi les suites données. On précisera le terme initial et la raison.
205) Le
plan étant muni d’un repère, représenter les douze premiers
termes de la suite arithmétique de premier terme
et
de raison
206)
Dans
chacun des cas suivants, calculer les cinq premiers termes de la
suite arithmétique
de
raison a, sachant que : a) u12
=
63 et a = 5 ; b) u7
=
3 et u10
=
4.
207)
est
la suite arithmétique de premier terme u0
= 3 et de raison
Déterminer n tel que un
= 109.
208)
est
la suite arithmétique de premier terme u0
et de raison a.
Exprimer
le terme général un
en fonction de n dans chacun des cas suivants:
a) u0
=
-15 et a = - 2 ; b) u0
=
et a =
; c)
u0
=
7,1 et a = 10 ;
d) u0= 4 et a = - 0,01 ; e) u0= -1,2 et a = 0,3 ; f) u0= 1 et a = 3.
209) Connaissant deux termes d’une suite arithmétique, exprimer son terme géneral un en fonction de n :
a) u5 = 9 et u10 = 55 ; b) u50 = 4 et u120 = 6,8 ; c) u0 = 15 et u10 = -15 ; d) u4 = 8 et
u10 = 10.
210)
est
la suite arithmétique de raison 50
et
de terme initial 1 300. Calculer la somme
211)
est
la suite arithmétique de raison 5
et
de terme initial -2. Calculer la somme des cinquante premiers
termes de la suite.
212) Calculer la somme des cents premiers entiers naturels non nuls.
213) Déterminer trois termes consécutifs d’une suite arithmétique sachant que leur somme est égale à 105 et leur produit à 42 560.
214) Quelle est la somme des entiers naturels de 51 à 100 ?
215) Déterminer trois termes consécutifs d’une progression arithmétique connaissant leur somme 45 et la somme de leurs carrés 707.
216) Quelle est la somme : a) des entiers naturels pairs de 2 à 100 ? b) des entiers naturels impairs de 1 à 99 ?
217) La
suite
est
arithmétique, de raison -3,5 et telle que u30
=
150. Calculer la somme
218)
La suite
est
arithmétique, de raison
et
de terme initial u0
=
-3. Calculer la somme
