1)La relation de Chasles

Quel que soient les points A, B et C du plan on a :

2) Pour représenter le vecteur , on constriut le parallélogramme ABDC ; on a alors :

Exercices

1) En utilisant le dessin ci-dessous, écrire des égalités de vecteurs.

2) En utilisant le dessin ci-dessous, écrire des égalités de vecteurs.

3) En utilisant la figure ci-contre,écrire des égalités

vectorielles. (On peut en trouver 8, on ne

demande pas de justification.)

4) Compléter :

a) MAIF est un parallélogramme, donc b) donc ... .

5) Soit un carré EFGH de centre O et de 4cm de côté. Placer les points J, K, et L tels que et

6) Reproduire le dessin suivant sur papier quadrillé et, dans chacun des cas, construire un représentant de la somme des vecteurs

7) Reproduire le dessin suivant sur papier quadrillé et, dans chacun des cas, construire un représentant de la somme des vecteurs

8) Reproduire la figure ci-dessous et tracer un représentant des vecteurs et définis par :

9) On donne le parallélogramme ci-contre. Recopier les égalités vectorielles suivantes :

a)  ;b)  ;

c)  ; d) ;

e)  ; f)  ;

g).

10) Tracer un triangle ABC. a)Tracer le point I tel que Que peut-on dire du quadrilarère ABIC ? Justifier. b) Tracer le point K tel que Que peut-on dire du quadrilarère ACBK ? c) Démontrer que le point B est le milieu de [IK].

11) Soit ABCD un parallélogramme. a) Que peut-on dire des vecteurs : et  ? b) Que peut-on dire des vecteurs et  ?

c) Que peut-on dire des vecteurs et  ?

12) M est le milieu d’un segment [AB] Que peut-on dire de la somme :

1.2Vecteurs et coordonnées

Mots à retenir

la norme du vecteur (длина вектора)

Définitions

1) Le plan est muni d’un repère d’origine O ; I est le point unité de l’axe des abscisses ; J est le point unité de l’axe des ordonnées. Si A a pour coordonnées (x_A ; y_A) et si B a pour coordonnées (x_B ; y_B) alors le vecteur a pour coordonnées : ( x_B- x_A ; y_B- y_A).

Remarque : attention à l’ordre des termes ; un procédé mnémotechnique traditionnel pour retenir cet ordre consiste à se souvenir de « extrémité moins origine ».

2) La norme du vecteur est la longueur AB ; on la note . Le vecteura pour norme .

3) Soit le vecteur (a ; b) et (c ; d). La somme de vecteurs et est le vecteur de coordonnées (a + c ; b + d).

4) Soit le vecteur (a ; b) et k est un nombre réel. Le produit du vecteur par le nombre réel k est le vecteur de coordonnées (ka ; kb). On le note

5) Deux vecteurs et sont colinéaires s’il existe un nombre réel k tel que ou bien

Par exemple :

Soit les vecteurs (3 ; -2) et (-15 ; 10). On a vu que Les vecteurs et sont colinéaires. Les vecteurs (3 ; -2) et (6 ; -4) ne sont pas colinéaires. Les coordonnées dene s’obtiennent pas en multipliant les coordonnées de par un même nombre.

6)Pour les vecteurs (a ; b) et (c ; d) on appelle produit scalaire de ces deux vecteurs le nombre ac + bd. On écrit : Si et sont deux vecteurs non nuls, alors

Propriétés

1) Dire que deux vecteurs sont égaux revient à dire qu’ils ont les mêmes coordonnées.

2) Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont proportionnelles.

Les vecteurs (a ; b) et (c ; d) sont colinéaires si, et seulement si, le tableau

a	c
b	d

est un tableau de proportionnalité. On a donc ad = bc ou encore ad -bc=0 (condition de colinéarité).

3) Deux vecteurset sont ortogonaux si, et seulement si,