4.3 Suite géométrique

Mots à retenir

une suite (une progression) géométrique (геометрическая прогрессия)

la raison d’une suite géométrique (знаменатель геометрической прогрессии)

Définitions

1) Une suite est géométrique lorsque l’on passe d’un terme quelconque au suivant en multipliant toujours par le même nombre q, appelé raison de la suite.

Remarques

Toute suite dont chaque terme est moyenne géométrique des deux termes qui l’encadrent est appelée suite géométrique. On emploie aussi parfois l’expression progression géometrique.

2) La raison est le quotient de deux termes consécutifs d’une suite géométrique.

Par exemple :

On considère la suite des puissances de 2 : 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; ... . On constate que l’on passe d’un terme à son suivant en multipliant toujours le même nombre 2. On dit que cette suite est une suite géométrique de raison 2.

Formules d’une suite géométrique

• Formule de récurrence :

• Terme général, formule explicite : où est le terme initial ou bien si on connaît le terme d’indice i.

Par exemple : est une suite géométrique de raison 5 et de terme initial 2 , alors et

Sens de variation

Pour une suite géométrique à termes positifs :

• Si la raison q est supérieure à 1, alors la suite géométrique est croissante.

• Si la raison q est entre 0 et 1, alors la suite géométrique est décroissante.

Somme de termes consécutifs

La somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de raison est :

Exercices

219) Les suites données sont-elles géométriques ? Si oui, préciser leur terme initial u₀ et leur raison q.

220) Dans chaque situation, donner la raison de la suite géométrique, exprimer le terme général u_n en fonction de n (nombre d’années écoulées) et calculer u₁₀.

a) Population, de 20 000 habitants au départ, qui augmente de 10 % par an.

b) Indice base 100 aui augmente de 3 % par an.

c) Valeur d’une voiture, de 12 400€ à l’achat, qui perd 25% de sa valeur par an.

d) Population d’un pays de 62,3 millions qui augmente de 1,5 % par an.

221) Dans chaque cas, calculer les termes d’indice 1 à 5 de la suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q sachant que :

a)u₀ = et q = 3 ;b) u₀ = 3 et q = ; c) u₀ = 2 et u₁=5 ;d) u₀ = -2 et u₄ = -18  .

222) Le plan étant muni d’un repère, représenter les douze premiers termes de la suite géométrique de premier terme et de raison

223) est une suite géométrique de raison 3 telle que u₁=8. Calculer u₅ et u₆.

224) On pose pour tout naturel n, Dites pourquoi est une suite géométrique et donnez sa raison.

225) est une suite géométrique de raison telle que u₁₅ =36. Calculer u₅ et u₆.

226) Représenter graphiquement les quatre premiers termes de la suiteet étudier son sens de variation.

a) est une suite géométrique de premier terme 4 et de raison 2.

b) est une suite géométrique telle que u₀ = 3 et u₁ = 18.

227) On connaît les trois premiers termes d’une suite : u₀= 7, u₁ = 21 et u₂ = 35. peut-elle être arithmétique ? géométrique ?

228) est une suite géométrique de premier terme u₀= 3 et de raison 4. Calculer la somme de 10 premiers termes.

229) Calculer la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique de raison 6, sachant que le premier terme est 1 et le dernier 1 679 616.

230) est une suite géométrique de raison q > 0. Calculer si u₀ = 1 et q = 2.

231) est une suite géométrique de raison q > 0. Calculer si u₀ = et q = .

232) Calculer la somme

233) Calculer la somme des cent premiers multiples de 5.

234) Déterminer trois termes consécutifs d’une suite géométrique sachant que leur somme est égale à -8,4 et leur produit à 8.

235) est une suite géométrique de raison 1,1 et de premier terme u₀ = 3. Déterminer les entiers naturels n pour que la somme des n premiers termes de cette suit soit : a) supérieure à 100 ; b) inférieure à 500 ; c) inférieure à 1 000.

236) est la suite géométrique de raison 2 et de premier terme u₀ = 7. Cette suite a-t-elle un terme égal à 3 758 096 384 ?

237) Calculer la somme 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 1 024.